NP难问题

Posted 2020-11-09 你好vinn

摘自网址https://blog.csdn.net/u014295667/article/details/47090639

              https://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/51935400 

P类问题：在多项式时间内可解的问题。

NP类问题（Nondeterminism Polynomial）：在多项式时间内“可验证”的问题。也就是说，不能判定这个问题到底有没有解，而是猜出一个解来在多项式时间内证明这个解是否正确。

NPC类问题（Nondeterminism Polynomial complete）：存在这样一个NP问题，所有的NP问题都可以约化成它。换句话说，只要解决了这个问题，那么所有的NP问题都解决了。其定义要满足2个条件： 

• 首先，它得是一个NP问题；
• 然后，所有的NP问题都可以约化到它。

要证明npc问题的思路就是： 

• 先证明它至少是一个NP问题，
• 再证明其中一个已知的NPC问题能约化到它。

NP难(NP-Hard)问题  即多项式复杂程度的非确定性问题。                                                                                                                                                                                         它满足NPC问题定义的第二条但不一定要满足第一条（就是说，NP-Hard问题要比NPC问题的范围广，NP-Hard问题没有限定属于NP），即所有的NP问题都能约化到它，但是他不一定是一个NP问题。

 

                                                                                                                                                                                                                                                NP-Hard问题同样难以找到多项式的算法，但它不列入我们的研究范围，因为它不一定是NP问题。即使NPC问题发现了多项式级的算法，NP-Hard问题有可能仍然无法得到多项式级的算法。事实上，由于NP-Hard放宽了限定条件，它将有可能比所有的NPC问题的时间复杂度更高从而更难以解决。

最具代表性的NP-Hard问题：TSP

旅行推销员问题是数图论中最著名的问题之一，即"已给一个n个点的完全图，每条边都有一个长度，求总长度最短的经过每个顶点正好一次的封闭回路"。

售货员旅行问题 (traveling salesman problem)，是最具有代表性的NP问题之一。假设一个推销员需要从香港出发，经过广州，北京，上海，…，等 n 个城市， 最后返回香港。 任意两个城市之间都有飞机直达，但票价不等。现在假设公司只给报销 C 块钱，问是否存在一个行程安排，使得他能遍历所有城市，而且总的路费小于 C？
推销员旅行问题显然是 NP 的。因为如果你任意给出一个行程安排，可以很容易算出旅行总开销。但是，要想知道一条总路费小于 C 的行程是否存在，在最坏情况下，必须检查所有可能的旅行安排! 这将是个天文数字。
这个天文数字到底有多大？目前的方法接近一个一个的排着试，还没有找到更好可以寻得最短路径的方法。对七个城而言，共有 6!=720 个排法，还比较简单；，但若有 20 个城，则排法就有 19! 种。因故在排列组合里 n! 写起来轻松。但 1.21∗10171.21∗1017 是一个大得不得了的数字。若每秒钟排一次，要排 3.84∗1093.84∗109 年（一年约为 3.15∗1073.15∗107 秒），即使使用计算器，每秒排一百万次（不容易做到）也得重做三千年才能找到答案。「生也有涯，知也无涯」，想不到区区二十个城，要三十个世纪才能找到答案。