2.1.2

Posted 2020-11-08 heltion

6.至少含有一个内点的集合的外测度能否为零?
7.已知\(A\subset B\subset\mathbb R^n,A\)是可测集,且\(m(A)=m^*(B)=0,\)证明\(B\)是可测集.
8.对于任意集\(E\subset\mathbb R^n,\)证明存在包含\(E\)的\(G_\delta\)集\(H,\)使得\(m(H)=m^*(E).\)此题中所构造的集合\(H\)称为集合\(E\)的等测包.
9.若\(\{E_k\}\)是\(\mathbb R^n\)上的单调上升点集列,试证明\[\lim_{k\to\infty}m^*(E_k)=m^*(\lim_{k\to\infty}E_k).\]
10.设\(A,B\subset\mathbb R^n,A\cup B\)是有限可测集.若\(m(A\cup B)=m^*(A)+m^*(B),\)证明\(A,B\)皆为可测集.

6.\(m^*(E)\geq m^*(B(x,\delta))>0.\)
8.\(\forall k\in\mathbb N,\)存在开集\(G_k\supset E,\)使得\(m^*(G)\leq m^*(E)+\dfrac1k,\)令\(\displaystyle H=\bigcap_{k=1}^\infty G_k.\)
9.构造\(E_k\)的单调上升等测包\(\displaystyle H_k,m^*(\lim_{k\to\infty}E_k)\geq\lim_{k\to\infty}m^*(E_k)=\lim_{k\to\infty}m^*(H_k)=m^*(\lim_{k\to\infty}H_k)\geq m^*(\lim_{k\to\infty}E_k).\)
10.令\(G,H\)为\(A,B\)的等测包\(,m(G\cup H)\leq m(G)+m(H)=m(A\cup B)\leq m(G\cup H),m(G\cap H)=0.\) \(m^*(G\setminus A)=m^*(G\setminus A)\leq m^*(G\cap A^c\cap B^c)+m^*(G\cap A^c\cap H)\) \(=m^*(G)-m^*(G\cap(A\cup B))\leq m^*(G)-m^*(A)=0.\)