bzoj2721[Violet 5]樱花
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题目传送门:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2721
好久没做数学题了,感觉有些思想僵化,走火入魔了。
这道题就是求方程$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!} $的正整数解个数。
首先我们可以把方程化为$ (x+y)n!=xy $。。。然后就发现搞不出什么了。
但是我们可以考虑换元,因为$ x,y $必大于$ n $,所以我们设$ y=n!+k $,然后我们就可以把方程化为$ (x+n!+k)n!=x(n!+k) $,接下来去括号并整理得:$ (n!)^{2}+kn!=xk $,于是$ x=x=\frac{(n!)^{2}}{k}+n! $,问题就变成了求$ (n!)^2 $的因数个数。
具体做法可以用筛法筛出质数,然后对于每个质数,算出它们的每个幂对答案的贡献。
代码:
#include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<ctime> #include<algorithm> #include<queue> #include<vector> #include<map> #define ll long long #define ull unsigned long long #define max(a,b) (a>b?a:b) #define min(a,b) (a<b?a:b) #define lowbit(x) (x& -x) #define mod 1000000007 #define inf 0x3f3f3f3f #define eps 1e-18 #define maxn 500010 inline ll read() { ll tmp=0; char c=getchar(),f=1; for(;c<‘0‘||‘9‘<c;c=getchar())if(c==‘-‘)f=-1; for(;‘0‘<=c&&c<=‘9‘;c=getchar())tmp=(tmp<<3)+(tmp<<1)+c-‘0‘; return tmp*f; } int p[1000010],mn[1000010]; ll cnt[1000010]; int n,tot=0; void eular(int n) { mn[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++){ if(!mn[i])p[++tot]=i,mn[i]=tot; for(int j=1;j<=mn[i]&&i*p[j]<=n;j++)mn[i*p[j]]=p[j]; } //for(int i=1;i<=n;i++) // if(p[mn[i]]==i)printf("%d\n",i); } int main() { n=read(); eular(n); for(int i=1;i<=tot;i++){ cnt[i]=0; for(ll j=p[i];j<=n;j*=p[i])cnt[i]+=n/j; cnt[i]%=mod; } ll ans=1; for(int i=1;i<=tot;i++) ans=ans*(cnt[i]*2+1)%mod; printf("%lld\n",ans); return 0; }
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