Codeforces - 662A Gambling Nim

Posted 2020-11-08 Pneuis

题意：

　　n张卡牌，正反两面有两个数字。每一面的概率都为0.5。将所有卡片的值异或起来，求异或值不为0的概率。

题解：

　　考虑异或值为0的情况。

　　用sum表示a[1]^...^a[n]的值。用c[i]表示a[i]^b[i]。那么sum^c[i]^...^c[j]代表总的异或值。即sum=c[i]^...^c[j]时，他们的异或值为0。

　　那么问题就变成求c的子集，使得子集内的所有值异或和为sum。

　　求出c[1]~c[n]的线性基，用bit数组表示。

　　对于sum，若他不能用线性基表示，即总的异或和恒不为0，答案就为1/1。

　　如果能用线性基表示，所有异或和为sum的情况数就为2^n-tot(tot为线性基的大小)。异或和为0的概率为2^n-tot/2ⁿ = 1/2^tot。

　　那么异或和不为0的概率为(2^tot-1)/2^tot。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 5e5+10;
int n;
int tot;
ll b, sum;
ll a, bit[65];
void add(ll *a, ll b) {
    for(int i = 62; i >= 0; i--) if((1ll<<i)&b) {
        if(a[i]) b ^= a[i];
        else {
            a[i] = b; 
            tot++;
            return ;
        }
    }
}
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%lld%lld", &a, &b);
        sum ^= a;
        add(bit, a^b);
    }
    int cnt;
    for(int i = 62; i >= 0; i--) if((1ll<<i)&sum) {
        sum ^= bit[i];
        cnt++;
    }
    if(sum) {
        puts("1/1");
        return 0;
    }
    ll ans = 1ll<<tot;
    printf("%lld/%lld\n", ans-1, ans);
} 

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