20180523模拟赛T2——前缀！

Posted 2020-11-08 pfy_pfy

简化版题面

jyt毒瘤，写了超长的题面，要看完整题面的翻到最后……

定义\(f_0(x) = A_x\)，\(f_n(x) = \sum^x_{i = 1} f_{n-1}(i)\)。给出长度为\(N\)的数组\(A\)（从\(1\)~\(n\)编号）和\(Q\)个操作。操作有两种：Add i j 表示将\(A_i\)的值加上\(j(j\le P)\)；Query i j表示询问\(f_i(j)\)的值\((1\le M)\)，由于答案可能会很大，给我 mod P 后的答案即可，\(P=1,000,000,007\)。

Input

第一行为三个正整数 N、M、Q。
第二行为 N 个非负整数，表示 A 数组。
接下来 Q 行，每行表示一个操作，Add i j 或 Query i j。

Output

输出有多行，每行表示 f i (j) mod P。

Sample Input

4 4 4
1 1 1 1
Query 0 4
Query 4 3
Add 1 1
Query 3 2

Sample Output

1
15
7

Data Limitation

对于\(10\%\)的数据：\(M\le 100\)。
对于\(30\%\)的数据：\(Q\le 400\)。
对于$ 50%\(的数据：\)N\le 10\(。 对于\) 70%\(的数据：\)N\le 100\(。 对于\) 100%\(的数据：\)N,M,Q\le 4000$。

题解

由\(f_n(x) = \sum^x_{i = 1}f_{n-1}(i) = f_{n-1}(i) + \sum^{x-1}_{i = 1}f_{n-1}(i) = f_{n-1}(i-1) + f_{n-1}(i)\)发现这类似于一个杨辉三角。于是我们可以把\(f_{n}(x)\)看成是\(f[n][x]\)。则易得\(f[i][j] = f[i-1][j-1] + f[i-1][j]\)。现在我们假设第一行（即\(f[0]\)是空的）。现在我们要在\(f[0][pla]\)中加入一个数，先假设加\(1\)。我们发现这就相当于是以\(f[1][pla]\)为\([1][1]\)点“贴”了一张杨辉三角，那么如果加了\(n\)，就好像是“贴”了\(n\)张杨辉三角。

也就是说，加入的这个数对整张表的贡献就是这张杨辉三角。那么，对于任意一个位置\(f[i][j]\)，我们可以枚举之前的点对其的贡献（也就是这个点的值乘以单位贡献），将所有能影响到的贡献加起来即可。

杨辉三角可以用组合数算，也可以直接\(n^2\)预处理出来。

注意一定要开long long，否则会炸得很惨。

#include <cstdio>
#include <cctype>

#define int long long//一定要开long long!

const int maxn = 4005;
const int mod = 1e9+7;

int ans[maxn][maxn];
char ask[10];
int di[maxn];

#define dd c = getchar()
inline void read(int& x)
{
    bool f = false;
    x = 0;
    char dd;
    for(; !isdigit(c); dd)
        if(c == '-')
            f = true;
    for(; isdigit(c); dd)
        x = (x<<1) + (x<<3) + (c^48);
    if(f) x = -x;
}
#undef dd

int n, m, q;

int yhsj[maxn][maxn];

inline void pre()//预处理杨辉三角
{
    for(int i = 1; i <= n+3; ++i)
        yhsj[1][i] = 1;
    for(int i = 2; i <= m+3; ++i)
        for(int j = 1; j <= n+3; ++j)
            yhsj[i][j] = (yhsj[i-1][j] + yhsj[i][j-1]) % mod;
}

inline void Query(int ii, int jj)
{
    if(!ii)
    {
        printf("%lld\n", di[jj]);
        return;
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= jj; ++i)
        ans = (ans + di[i] * yhsj[ii][jj-i+1]) % mod;//第i点对其的贡献
    printf("%lld\n", ans);
}

signed main()
{
    #ifndef deb
    freopen("b.in", "r", stdin);
    freopen("b.out", "w", stdout);
    #endif
    
    read(n), read(m), read(q);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        read(di[i]);
    pre();
    
    while(q--)
    {
        scanf("%s", ask);
        int ta, tb;
        read(ta), read(tb);
        if(ask[0] == 'A')
            di[ta] += tb;
        else
            Query(ta, tb);
    }

    #ifndef deb
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    #endif
    return 0;
}

原题题面

黛黛方进入房时，只见两个人搀着一位鬓发如银的老母迎上来，黛黛便知是他外祖母。方欲拜见时，早被他外祖母一把搂入怀中，心肝儿肉叫着大哭起来。当下地下侍立之人，无不掩面涕泣，黛黛也哭个不住。一时众人慢慢解劝住了，黛黛见拜见了外祖母。

——此即冷子兴所云之史氏太君，贾赦贾政之母也。当下贾母一一指与黛黛：“这是你大舅母；这是你二舅母；这是你先珠大哥的媳妇珠大嫂子。”黛黛一一拜见过。贾母又说：“请姑娘们来。今日远客才来，可以不必上学去了。”众人答应了一声，便去了两个。

不一时，只见三个奶嬷嬷并五六个丫鬟，簇拥着三个姊妹来了。第一个肌肤微丰， 合中身材，腮凝新荔，鼻腻鹅脂，温柔沉默，观之可亲。第二个削肩细腰，长挑身材， 鸭蛋脸面，俊眼修眉，顾盼神飞，文彩精华，见之忘俗。第三个身量未足，形容尚小。其钗环裙袄，三人皆是一样的妆饰。黛黛忙起身迎上来见礼，互相厮认过，大家归了坐。丫鬟们斟上茶来。不过说些黛黛之母如何得病，如何请医服药，如何送死发丧。不免贾母又伤感起来，因说：“我这些儿女，所疼者独有你母，今日一旦先舍我而去，连面也不能一见，今见了你，我怎不伤心！”说着，搂了黛黛在怀，又呜咽起来。众人忙都宽慰解释，方略略止住。

众人见黛黛年貌虽小，其举止言谈不俗，身体面庞虽怯弱不胜，却有一段自然的风流态度，便知他有不足之症。因问：“常服何药，如何不急为疗治？”黛黛道：“我自来是如此，从会吃饮食时便吃药，到今日未断，请了多少名医修方配药，皆不见效。那一年我三岁时，听得说来了一个癞头和尚，说要化我去出家，我父母固是不从。他又说：

‘既舍不得他，但只怕他的病一生也不能好的。若要好时，除非从此以后总不许见哭声； 除了父母之外，凡有外姓亲友之人，一概不见，方可平安了此一世。’疯疯癫癫，说了这些不经之谈，也没人理他。如今还是吃人参养荣丸。”贾母道：“正好，我这里正配丸药呢。叫他们多配一料就是了。”

一语未了，只听后院中有人笑声，说：“我来迟了，不曾迎接远客！”黛黛纳罕道：

“这些人个个皆敛声屏气，恭肃严整如此，这来者系谁，这样放诞无礼？”心下想时，只见一群媳妇丫鬟围拥着一个人从后房门进来。这个人打扮与众姑娘不同，彩绣辉煌， 恍若神妃仙子：头上戴着金丝八宝攒珠髻，绾着朝阳五凤挂珠钗；项上带着赤金盘螭璎珞圈；裙边系着豆绿宫绦双鱼比目玫瑰佩；身上穿着缕金百蝶穿花大红洋缎窄裉袄，外罩五彩刻丝石青银鼠褂；下着翡翠撒花洋绉裙。一双丹凤三角眼，两弯柳叶吊梢眉，身量苗条，体格风骚，粉面含春威不露，丹唇未启笑先闻。黛黛连忙起身接见。贾母笑道：

“你不认得他。他是我们这里有名的一个泼皮破落户儿，南省俗谓作‘辣子’，你只叫他‘凤辣子’就是了。”黛黛正不知以何称呼，只见众姊妹都忙告诉他道：“这是琏嫂子。”黛黛虽不识，也曾听见母亲说过，大舅贾赦之子贾琏，娶的就是二舅母王氏之内侄女，自幼假充男儿教养的，学名王熙凤。黛黛忙陪笑见礼，以“嫂”呼之。这熙凤携着黛黛的手，上下细细打量了一回，仍送至贾母身边坐下，因笑道：“天下真有这样标致的人物，我今儿才算见了！况且这通身的气派，竟不像老祖宗的外孙女儿，竟是个嫡亲的孙女，怨不得老祖宗天天口头心头一时不忘。只可怜我这妹妹这样命苦，怎么姑妈偏就去世了！”说着，便用帕试泪。贾母笑道：“我才好了，你倒来招我。你妹妹远路才来，身子又弱，也才劝住了，快再休提前话。”这熙凤听了，忙转悲为喜道：“正是呢！我一见了妹妹，一心都在他身上了，又是喜欢，又是伤心，意忘记了老祖宗。该打， 该打！”又忙携黛黛之手，问；“妹妹几岁了？可也上过学？现吃什么药？在这里不要想家，想要什么吃的、什么玩的，只管告诉我；丫头老婆们不好了，也只管告诉我。” 一面又问婆子们：“黛姑娘的行李东西可搬进来了？带了几个人来？你们赶早打扫两间下房，让他们去歇歇。”那熙凤又问黛黛道：“我这有道题不知妹妹会不会做。”黛黛道：“且说。”熙凤笑道：“题目是这样的：

定义\(f_0(x) = A_x\)，\(f_n(x) = \sum^x_{i = 1} f_{n-1}(i)\)。给出长度为\(N\)的数组\(A\)（从\(1\)~\(n\)编号）和\(Q\)个操作。操作有两种：Add i j 表示将\(A_i\)的值加上\(j(j\le P)\)；Query i j表示询问\(f_i(j)\)的值\((1\le M)\)，由于答案可能会很大，给我 mod P 后的答案即可，\(P=1,000,000,007\)。”