[CF930E]/[CF944G]Coins Exhibition
题目地址：
博客地址：
[CF930E]/[CF944G]Coins Exhibition - skylee
题目大意：
一个长度为\\(k(k\\le10^9)\\)的\\(01\\)串，给出\\(n+m(n,m\\le10^5)\\)个约束条件，其中\\(n\\)条描述区间\\([l_i,r_i]\\)至少有一个\\(0\\)，其中\\(m\\)条描述区间\\([l_i,r_i]\\)至少有一个\\(1\\)。求合法的\\(01\\)串数量。
思路：
显然直接考虑所有的\\(k\\)位，就算\\(\\mathcal O(k)\\)的线性算法也会超时，因此对于所有的\\(l_i-1,r_i\\)以及\\(0,k\\)离散化以后考虑这些关键点即可。
设关键点有\\(lim\\)个，对所有关键点排序，\\(tmp[i]\\)为\\(i\\)离散化前对应的数。对所有关键点排序，考虑动态规划，设\\(f[i][j\\in\\{0,1,2\\}]\\)表示从后往前考虑第\\(i\\sim lim\\)个关键点。若\\(j\\in\\{0,1\\}\\)，则\\(f[i][j]\\)表示\\(tmp[i]\\sim tmp[i+1]\\)中含有\\(j\\)的方案数后缀和。若\\(j=2\\)，则\\(f[i][j]\\)表示最后一段同时有\\(0\\)和\\(1\\)的方案数。用\\(min[j\\in\\{0,1\\}][i]\\)表示对应约束条件类型为\\(j\\)，\\(i\\)右侧最近的、对应左端点不在\\(i\\)左侧的右端点。状态转移方程如下：
- \\(f[i][0]=f[i+1][0]+f[i+1][1]-f[min[1][i]][1]+f[i+1][2]\\times(2^{tmp[i+1]-tmp[i]}-2)\\)
- \\(f[i][1]=f[i+1][1]+f[i+1][0]-f[min[0][i]][0]+f[i+1][2]\\times(2^{tmp[i+1]-tmp[i]}-2)\\)
- \\(f[i][2]=f[i+1][0]-f[min[0][i]][0]+f[i+1][1]-f[min[1][i]][1]+f[i+1][2]\\times(2^{tmp[i+1]-tmp[i]}-2)\\)
最终答案为\\(f[0][2]\\)。
时间复杂度\\(\\mathcal O((n+m)(\\log(n+m)+\\log k))\\)。其中\\(\\mathcal O(\\log(n+m))\\)为离散化复杂度，\\(\\mathcal O(\\log k)\\)为快速幂复杂度。
源代码：
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
using int64=long long;
inline int getint() {
register char ch;
while(!isdigit(ch=getchar()));
register int x=ch^\'0\';
while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^\'0\');
return x;
}
constexpr int N=1e5,mod=1e9+7;
std::pair<int,int> p[2][N];
int tmp[N*4+2],min[2][N*4+2],f[N*4+2][3];
inline int power(int a,int k) {
int ret=1;
for(;k;k>>=1) {
if(k&1) ret=(int64)ret*a%mod;
a=(int64)a*a%mod;
}
return ret;
}
int main() {
const int k=getint(),n=getint(),m=getint();
int lim=0;
for(register int i=0;i<n;i++) {
tmp[++lim]=p[0][i].first=getint()-1;
tmp[++lim]=p[0][i].second=getint();
}
for(register int i=0;i<m;i++) {
tmp[++lim]=p[1][i].first=getint()-1;
tmp[++lim]=p[1][i].second=getint();
}
tmp[++lim]=k;
std::sort(&tmp[0],&tmp[lim]+1);
lim=std::unique(&tmp[0],&tmp[lim]+1)-&tmp[1];
for(register int i=0;i<=lim;i++) {
min[0][i]=min[1][i]=lim+1;
}
for(register int i=0;i<n;i++) {
p[0][i].first=std::lower_bound(&tmp[0],&tmp[lim]+1,p[0][i].first)-tmp;
p[0][i].second=std::lower_bound(&tmp[0],&tmp[lim]+1,p[0][i].second)-tmp;
min[0][p[0][i].first]=std::min(min[0][p[0][i].first],p[0][i].second);
}
for(register int i=0;i<m;i++) {
p[1][i].first=std::lower_bound(&tmp[0],&tmp[lim]+1,p[1][i].first)-tmp;
p[1][i].second=std::lower_bound(&tmp[0],&tmp[lim]+1,p[1][i].second)-tmp;
min[1][p[1][i].first]=std::min(min[1][p[1][i].first],p[1][i].second);
}
for(register int i=lim;i;i--) {
min[0][i-1]=std::min(min[0][i-1],min[0][i]);
min[1][i-1]=std::min(min[1][i-1],min[1][i]);
}
f[lim][0]=f[lim][1]=f[lim][2]=1;
for(register int i=lim-1;i>=0;i--) {
int g[3];
g[0]=(f[i+1][0]-f[min[0][i]][0]+mod)%mod;
g[1]=(f[i+1][1]-f[min[1][i]][1]+mod)%mod;
g[2]=(int64)f[i+1][2]*((power(2,tmp[i+1]-tmp[i])-2+mod)%mod)%mod;
f[i][0]=((int64)f[i+1][0]+g[1]+g[2])%mod;
f[i][1]=((int64)f[i+1][1]+g[0]+g[2])%mod;
f[i][2]=((int64)g[0]+g[1]+g[2])%mod;
}
printf("%d\\n",f[0][2]);
return 0;
}