浅谈带权二分或者斜率凸优化

Posted 2020-11-07 Der Barde, Nietzsche

APOI讲了这个东西，还有THU命题的《九省·林克卡特树》，感觉好像很热点的样子。

带权二分是一类对DP的优化，对于某些最优化问题的(2d/yd)DP，通过这种优化，其效率可以达到简化后的(1d/yd)DP的效率乘一个log

（(xd/yd)DP是指状态数为n^x级且每种状态的转移数为$n^y$级的DP，这个形式下的DP的最好效率是$n^{x+y}$的）

有这么一个(2d/yd)DP：

——对于某状态二元组(i,j),有最优值f[i][j]；

——每个f[i][j]的得出，都需要比较$n^y$个其他的状态二元组，从中挑出一个可以使f[i][j]更优的状态作为前驱来进行转移；

——需要某一个f[n][m]的结果（因为n和m同级，所以可以认为状态数为$n^2$级）。

考虑优化这个(2d/yd)DP，也就是把它降为一个其他的(x\'d/y\'d)DP使得x\'+y\'<2+y

考虑使y减小——

由于在此类DP中，每一个状态的得出，最终只需要从所有备选的前驱中挑一个来进行转移，

于是在最理想的情况(也就是经过各种神奇优化之后)，我们可以不经过比较一步找到每个状态的前驱

这样就是一个(2d/0d)的DP了，效率$O(n^2)$，

对于决策过程的优化就到此为止了，这一部分并不是本文的重点，所以可以看出，他被一笔带过了。

现在我们考虑优化状态数，也就是把2d变成1d——

考虑有一个(2d/yd)DP，我们要得到的是状态(n,m)的最值f[n][m]

如果这个DP没有第二位限制的话是一个非常好搞的1dDP(状态为x时，其答案f\'[x]为原来f[x][i]中i枚举所有值时的最优值，由于DP状态的精确性有所下降，所以一般情况下f\'的DP的确可以是一个(1d/y\'d)DP，而且y\'<=y,也就是一个比之前更好搞的DP)

那我们尽量希望把第二位消掉，以优化状态数

设有函数F满足F(i)=f[n][i]；

F在整点处的最值，也是对于所有i而言f[n][i]的最值；

那么设这个值为f\'[n]，可以发现f\'[n]就是我们上文中所说的消去第二位限制后出现的那个很好搞的DP

然而，这样得到的f\'[n]=f[n][x]，却并不能保证x=m。

考虑给F搭配另一个函数G以得到函数H，使得H(x)=F(x)+G(x)

且H(x)在x=m时取得整点处的最值；

这样的话，设这个最值为h\'[n]，如果h\'[n]也恰好是个很好搞的(1d/y\'\'d)DP(这需要G十分恰当)，那么h\'[n]就可以是我们优化状态数的产物。而最终的答案就是h\'[n]-G(m)了

 

带权二分（斜率凸优化）就是上述讨论的一个简单易行而应用广泛的特例。

比如有f[a][b]=max(枚举c<b){f[a-1][c]+val[c+1,b]},

我们试图消去状态表示中的第一位a，他代表转移次数，

由之前的定义有$F_{max}$=f\'[b]=max(枚举i){f[i][b]}

可以发现f\'[x]是一个很好搞的DP——

f\'[b]=max(枚举c<b){f\'[c]+val[c+1,b]}

如果F的曲线满足如下图的凸性：

比如F(x)是下图这样的曲线

那么只要H(x)是F(x)搭配不同斜率的正比例函数G(x)（即H(x)=F(x)+K*x，其中G(x)=K*x），随着K的调动，就可以使不同的x变成H(x)取到最值的地方

而且h\'[x]也是一个很好搞的DP——

当G的斜率为K时，h\'[b]=max(枚举c){h\'[c]+val[c+1,b]+K}

(每转移一次就相当于原来的f中被隐去的维度其数值+1，这意味着G的自变量+1,此时G对h\'多贡献了K)

于是剩下的问题就是如何找到一个合适的K，使得H的最优值h\'[n]在m处取得了

因为只要K合适，那么答案就是f[n][m]=h\'[n]-m*K，而h\'是一个很好搞的DP，于是此类题目就结了。

我们发现由于F函数曲线的凸性，当K逐渐减小时，H的最值取得的位置逐渐右移，

这意味着K可以二分取得：

每次二分一个K’，DP计算当前的h\'[n]，并计算当前h\'[n]=H(x)的这个x是那一个x

如果这个x>m就blabla

如果这个x<m就blabla

这样最后会得到了一个合适的K，并同时也就得到问题的答案了。

而对于F的曲线满足如下图凸性的情况：

 

我们可以用同样的方法，搭配不同斜率的正比例函数G(x)使得H(x)的min值在不同的x处取得。

方法之前的类似。

总结：

对于f[n][m]

如果f[n][m]求解max值

且设F(x)=f[n][x]，有F(x)是随x增加，斜率递减的函数

那么我们可以通过斜率凸优化解决这个问题

如果f[n][m]求解min值

且设F(x)=f[n][x]，有F(x)是随x增加，斜率增的函数

那么我们可以通过斜率凸优化解决这个问题

例子：

有如下DP方程——

$$f_{[i][j]}=MIN_{k∈[0,j-1]}f_{[i-1][k]}+(sum_{l=k+1}^{j}a[l])^2$$

$$且对于所有i>j，有f_{[i][j]}=INF$$

其中a[x]为输入数据

求解$f_{[m][n]}$

 

可以看出$f_{[m][n]}$为把n个数分成m段，求每段和的平方的和。

设$F(x)=f{[x][n]}$可以证明F(x)是一个随x增加，斜率增的函数。

如果没有m段的限制的话

有$f\'_{[j]}=MIN_{k∈[0,j-1]}f_{[k]}+(sum_{l=k+1}^{j}a[l])^2$

通过预处理前缀和以及一些斜率优化技巧，这个方程可以做到O(n)

如果我们给每次划分搭配一个费用K的话

就有$h\'_{[j]}=MIN_{k∈[0,j-1]}h_{[k]}+(sum_{l=k+1}^{j}a[l])^2+K$

同样可以斜率优化做到O(n),

这样，我们二分K，判定此时$h\'_{[n]}$对应的划分次数与m的关系，从而找的一个合适的K，进而找的问题的答案。

最终效率为O(nlogV)