hdu-1792 A New Change Problem---数论&剩余系

Posted 2020-11-07 努力努力再努力x

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1792

题目大意：

给定A和B，A和B互质，求最大不能组合数，和不能组合数的个数。

解题思路：

由于gcd(m,n)=1,所以 0,n,2*n,3*n,...(m-1)*n，对m作除，余数肯定不同，且为{0,1,2,3...m-1}中的某数

    若存在非负数p，q使得pm+qn=x,则x为可组合值，两边对m取余，则(q*n)%m==x%m,p*m>=0,所以只要x比q*n大的数
都能被组合。由于q<m时，就能出现所有余数，所以当x>=(m-1)*n时就必定可组合。
    从(m-1)*n往下寻找，第二大q*n是(m-2)*n=(m-1)*n-n,由于,m,n顺序无关，所以就令m<n.则只要比(m-1)*n-n大的且
不与(m-1)*n同余的数都符合要求。(m-1)*n,(m-1)*n-1,...(m-1)*n-(m-1),都符合要求，只有(m-1)*n-m>(m-2)*n,且同余，
**在m>n的情况下，由于对于q*n相邻m-1个必定不同余，所以结果一样。


    所以最大的不符合数是(m-1)*n-m


    再讨论不符合要求的方案数：
    从大到小讨论q*n。m>n
    对于(m-1)*n，不符合要求的就是，比(m-1)*n小且与它同余的数，就是(m-1)*n-m,(m-1)*n-2*m...
    对于(m-2)*n，不符合要求的就是,(m-2)*n-m,(m-2)*n-2*m...
    。。。
    对于n，不符合要求的就是，n-m...
    所以ans=n/m+(2*n)/m+(3*n)/m...+((m-1)*n)/m=(m-1)*(n-1)/2;(前式除法是取整的，不一定整除)
    why?
    对于n*m/m=n，这个是整除的，所以(i*n+(m-i)*n)/m=n;由于i*n/m必定不整除，所以i*n%m+(m-i)*n%m=m;
因而(i*n)/m+((m-i)*n)/m=n-1，得出：
    ans=n/m+(2*n)/m+...((m-1)*n)/m=(n/m+(m-1)*n/m)+(2*n/m+(m-2)*n/m)+...=(n-1)*(m-1)/2