AtCoder - 3962 Sequence Growing Hard

Posted 2020-11-07 蒟蒻JHY

Problem Statement

Find the number of the possible tuples of sequences (A₀,A₁,…,A_N) that satisfy all of the following conditions, modulo M:

• For every i (0≤i≤N), A_i is a sequence of length i consisting of integers between 1 and K (inclusive);
• For every i (1≤i≤N), A_i?1 is a subsequence of A_i, that is, there exists1≤x_i≤i such that the removal of the x_i-th element of A_i would result in a sequence equal to A_i?1;
• For every i (1≤i≤N), A_i is lexicographically larger than A_i?1.

Constraints

• 1≤N,K≤300
• 2≤M≤10⁹
• N, K and M are integers.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N K M

Output

Print the number of the possible tuples of sequences (A₀,A₁,…,A_N), modulo M.

Sample Input 1

2 2 100

Sample Output 1

5

Five tuples below satisfy the conditions:

• (),(1),(1,1)
• (),(1),(1,2)
• (),(1),(2,1)
• (),(2),(2,1)
• (),(2),(2,2)

Sample Input 2

4 3 999999999

Sample Output 2

358

Sample Input 3

150 150 998244353

Sample Output 3

186248260


    最近的一场AGC的题目(1200分题！！)，当时比赛的时候一直怼这个题没怼出来QWQ，之后只做了前三个题QWQ(这样也能涨rating???)，后来回想了一下，搞了半天才搞出来。
    因为这个题目实在是不错，所以我会尽力写好完整的题解的hhhh

第一部分：模型构建。
    稍微想想就可以知道，第i行肯定是在第i-1行的基础上再插入一个数字得来的，并且要求字典序更大。
    但是稍不留神就会算重，比如 在 1,3,3,2 的两个3后面插入3，得到的新的序列是一样的。
    那么在不考虑容斥的情况下，我们如何去构造出 不重复 且满足字典序更大 的计算方案呢？
    
    考虑 a[i][] 和 a[i-1][] 第一个不一样的位置j (为了方便视 a[i-1][i] = 0)，显然a[i][j] > a[i-1][j]，不然字典序就更小了。
    并且很容易想到，如果两个 a[i][] 的 j不一样，那么它们肯定是不同的，所以我们现在就找到了一种不会算重的方案。
    
    我们接着转化模型，设j是最小的满足 a[i][k] != a[i-1][k] 的k，那么我们可以把第i次操作看成 在a[i-1][j] 前面挂了一个新的数 a[i][j] (要求 a[i][j] > a[i-1][j]),从而使a[i-1][j] 位移到了 a[i][j+1]。
    于是我们就可以把第i次操作加入的点 抽象成一棵节点带权的有根树的节点(初始只有0节点，且权值是0)，一次操作就相当于在某一个节点下挂一个新的权值大于它的节点(对应在原序列某个数前面挂数)。
    问题就转化成了，问有多少颗节点数为 n+1 的有根树，儿子的编号都小于爸爸，权值都大于爸爸，并且根的权值是0(对应第一次操作可以加入任意[1,k]的数)。

第二部分：高效求解问题。
    不难想到设 f[i][j] 为 有i个节点，且根的权值是j的有根树的方案数，但是转移不是很好想的样子。。。
    我们先钦定这棵树内的节点编号是1~i，那么转移就可以写成： f[i][j] = ∑ C(i-2,u-1) * f[u][k] * f[i-u][j]   (k>j)
    这就相当于枚举，和2节点在一颗子树内的分别是哪些点，这颗子树的方案和剩下的点的方案(依然是以1为根，只不过节点数变成了i-u)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=305;
int n,k,m,f[maxn][maxn],C[maxn][maxn],g[maxn][maxn];
inline int add(int x,int y){ x+=y; return x>=m?x-m:x;}
inline void ADD(int &x,int y){ x+=y; if(x>=m) x-=m;}

inline void solve(){
	const int ha=m;
	
	C[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		C[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++) C[i][j]=add(C[i-1][j-1],C[i-1][j]);
	}
	
	fill(g[0],g[0]+k+1,1);
	for(int i=0;i<=k;i++) g[1][i]=k-i+1,f[1][i]=1;
	
	for(int i=2;i<=n;i++){
		// calc f[i][]
		
		for(int j=0;j<=k;j++)
		    for(int u=1;u<i;u++) ADD(f[i][j],C[i-2][u-1]*(ll)g[u][j+1]%ha*(ll)f[i-u][j]%ha);
		
		// prepare prefix sum
		
		for(int j=k;j>=0;j--) g[i][j]=add(f[i][j],g[i][j+1]);
	} 
}

int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&k,&m),n++;
	solve(),printf("%d\n",f[n][0]);
	return 0;
}