2018山东省赛 G Game ( Nim博弈 && DP )

Posted 2020-11-07 rubbishes

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题意 : 给出 N 堆石子，每次可以选择一堆石子拿走任意颗石子，最后没有石子拿的人为败者。现在后手 Bob 可以在游戏开始前拿掉不超过 d 堆的整堆石子，现在问你有几种取走的组合使得 Bob 能保证他在游戏开始后是必胜的。

 

分析 :

在没有附加规则，即 Bob 可以先取走某些堆的情况下

就是个简单的 Nim 博弈模型，后手必胜当且仅当各个堆的石子的数目的异或和为 0

那么题目就变成了，问有多少种取走组合使得剩下的石子的异或和为 0

可以发现，可取走的石子的堆数 d 的上限不大，所以这个问题可以用 DP 解决

定义 dp[i][j][k] = 到第 i 堆石子为止，取走 j 堆石子，异或和为 k 的方案数有多少种

由于异或的自反性质，如果要从一个异或和集合中删除某个数，那么就相当于用这个数去异或这个集合的异或和

那么可以根据这个写出状态转移方程如下

dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k] + dp[i-1][j-1][k^pile[i]]

意义为 当前的DP值可以从取了这堆石子就能将异或和变为 k 的状态转移而来

那么就要求从异或和 k 中删除 pile[i] ，即直接拿 k 去异或 pile[i] 即可

也因为由于有这个性质，设 pile[1]^pile[2]...^pile[n] 原所有石子的异或和为 aim

那么最后的答案就存在 dp[n][1~d][aim] 中，意义为 取出的石子的异或和为 aim 的话

那么相当于从还未被取走任何一堆石子的所有的异或和 aim 中取走 aim 那么剩下的异或和就为 0

所以答案在 dp[n][1~d][aim] 中，在写 DP 的时候注意模就行了

 

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long

#define scs(i) scanf("%s", i)
#define sci(i) scanf("%d", &i)
#define scd(i) scanf("%lf", &i)
#define scl(i) scanf("%lld", &i)
#define scIl(i) scanf("%I64d", &i)
#define scii(i, j) scanf("%d %d", &i, &j)
#define scdd(i, j) scanf("%lf %lf", &i, &j)
#define scll(i, j) scanf("%lld %lld", &i, &j)
#define scIll(i, j) scanf("%I64d %I64d", &i, &j)
#define sciii(i, j, k) scanf("%d %d %d", &i, &j, &k)
#define scddd(i, j, k) scanf("%lf %lf %lf", &i, &j, &k)
#define sclll(i, j, k) scanf("%lld %lld %lld", &i, &j, &k)
#define scIlll(i, j, k) scanf("%I64d %I64d %I64d", &i, &j, &k)

#define lson l, m, rt<<1
#define rson m+1, r, rt<<1|1
#define lowbit(i) (i & (-i))
#define mem(i, j) memset(i, j, sizeof(i))

#define fir first
#define sec second
#define ins(i) insert(i)
#define pb(i) push_back(i)
#define pii pair<int, int>
#define mk(i, j) make_pair(i, j)
#define pll pair<long long, long long>
using namespace std;
const int maxn = 1000 + 50;
const int mod = 1e9 + 7;
int dp[maxn][15][maxn], arr[maxn];

int main(void)
{
    int nCase;
    sci(nCase);
    while(nCase--){
        int n, d;
        scii(n, d);
        d = min(d, n);

        int aim = 0, mx = 0;
        for(int i=1; i<=n; i++){
            sci(arr[i]);
            mx = max(arr[i], mx);
            aim ^= arr[i];
        }

        mem(dp, 0);
        for(int i=1; i<=n; i++)
            dp[i][1][arr[i]]++;

        for(int i=0; i<=10; i++)
            if((1<<i) > mx){
                mx = (1<<i);
                break;
            }

        for(int i=1; i<=n; i++)
            for(int j=1; j<=d; j++)
                for(int k=0; k<=mx; k++)
                    dp[i][j][k] = (dp[i][j][k]%mod + (dp[i-1][j][k] + dp[i-1][j-1][k^arr[i]])%mod)%mod;

        int ans = (aim==0) ? 1 : 0;
        for(int i=1; i<=d; i++)
            ans = (ans + dp[n][i][aim])%mod;

        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

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