博弈论？转载

Posted 2020-11-07 hyghb

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了博弈论？转载相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

转自:https://www.cnblogs.com/sssy/p/8485307.html

巴什博奕:

两个顶尖聪明的人在玩游戏，有n个石子，每人可以随便拿1−m个石子，不能拿的人为败者，问谁会胜利

结论:

设当前的石子数为 $n = k * (m + 1)$

即 $n$

时先手一定失败
HDU1846

#include<iostream>
using namespace std;
int main() {
    int C,N,M;
    scanf("%d",&C);
    while(C--) {
        scanf("%d%d",&N,&M);
        if(N%(M+1)==0) printf("second\\n");
        else printf("first\\n");
    }
    return 0;    
}

HDU4764

#include<cstdio>
#include<algorithm>
const int MAXN=1e6+10,INF=1e9+10;
int main() {
    int x,y;
    while(scanf("%d%d",&x,&y)) {
        if(!x&&!y) break;
        if( (x-1)%(y+1)==0 ) puts("Jiang\\n");
        else puts("Tang\\n");
    }
    return 0;
}

nim游戏:

有两个顶尖聪明的人在玩游戏
有n堆石子，两个人可以从任意一堆石子中拿任意多个石子(不能不拿)，没法拿的人失败。问谁会胜利

结论:

当 $n$

$n$

时，先手必败，否则先手必胜

简证:

定义当前状态为
P-position：在当前的局面下，先手必败
N-position：在当前的局面下，先手必胜
对于面对局面为
$0 x o r 0 x o r . . . 0 = 0$

称它为p局面

若当前局面为
$a_{1} x o r a_{2} . . . a_{n} = k$

$n$

的,所以操作可为减法

对于局面
$a_{1} x o r a_{2} . . . a_{n} = 0$

$n$

和为0是，必胜
luogu P2197 nim游戏

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
int main() {
    int T;
    //scanf("%d",&T);
    std::cin>>T;
    for(int n;T--;) {
        std::cin>>n;
        int tmp=0;
        for(int q,i=1;i<=n;++i) {
            std::cin>>q;tmp^=q; 
        }
        if(!tmp)puts("No");
        else puts("Yes");
    }
    //char a[10];scanf("%s",a);puts(a);
    return 0;
}

SG函数

SG函数内容的理解借鉴自zyf学长,鸣谢！QUQ
对于nim游戏，你已经知道怎么做了
但是，要是稍加改变游戏规则，那么恐怕无法很快找出必胜策略

我们可以吧游戏抽象为一张图，每一个点代表一个状态，对于每个状态与他的子状态连一条有向边。那么，我们在这张有向无环图上引入SG函数

定义

定义运算 $m e x ()$

$n$

s g (x) = m e x {s g (y)}

y为x的后继

SG函数的性质

首先对于出度为0的点，他的SG值为0
对于一个SG值为0的点x，他的后继y都满足sg(y)!=0,y的后继中一定有存在一个点的SG值为0
诶,是不是和刚才nim游戏很像
所以当SG(x)=0时,x代表了p局面

扩展

考虑有向图上有n个棋子,每次可以移动一颗,不能移动者lose,这时候怎样找到必胜策略呢?
我们来考虑每个顶点的SG值得含义,当 $s g (x) = k$

$n$

变为k,
那么,把第i个棋子移动到一个SG值为k的点上就是一种必胜策略
hhhh,也就是说Nim游戏的一种必胜策略对应着这n个棋子的必胜策略

那么这个游戏P局面就棋子所在位置的SG函数异或和为0的时候。

经典的博弈问题

再来说一下几类经典的博弈问题

Anti-Nim游戏和SJ定理

有两个顶尖聪明的人在玩游戏~~(他们一个是崩崩崩玩家一个是舰娘玩家)~~,游戏规则是这样的：
有n堆石子，两个人可以从任意一堆石子中拿任意多个石子(不能不拿)，拿走最后一个石子的人失败。问谁会胜利?

结论

先手必胜当且仅当：
所有堆的石子数都为1且游戏的SG值为0
有些堆的石子数大于1且游戏的SG值不为0

证明

1)游戏有三种情况
每堆只有一个石子

异或和为0先手必胜
异或和不为0先手必败
2)只存在一堆石子数>1,则先手必胜
可以发现，在这种情况下异或值一定！= 0
并且先手一定可以使剩下的奇数个石子变为个数为1的堆
3)存在2堆以上的石子数>1
-异或和=0时先手必败
-异或和!=0先手必胜
那么
考虑nim游戏，当异或和=0时,洗衣不操作都会使异或和！=0,相反同样....符合NP状态的转换
不断进行转换会在一个时刻变为 ‘只有一堆大于1‘ 的局面,而该局面一定是有 ‘两堆>1且异或和=0’ 的局面转来的,所以 ‘两堆>1且异或和=0’ 的局面一定会在某一时刻转化为 ‘只有一堆大于1’ 的先手必胜局面 ,也就是说是先手必败态;
其他同理可证
bzoj 1022: [SHOI2008]小约翰的游戏John

#include<cstdio>
#include<algorithm>
inline int read() {
    int x=0,f=1;
    char c=getchar() ;
    while(c<‘0‘||c>‘9‘)  {
        if(c==‘-‘)f=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c<=‘9‘&&c>=‘0‘)x=x*10+c-‘0‘,c=getchar();
    return x*f;
}
int a;
int main() {
 
    for(int n,T=read();T--;) {
        n=read();bool op=1;int tmp=0;
        for(int i=1;i<=n;++i) {
            a=read();if(a!=1)op=0;
            tmp^=a;
        }
        if((op&&!tmp) || (!op&&tmp))puts("John");
        else puts("Brother");
    }
    return 0;
}

SJ定理

定理：SJ定理

对于任意一个Anti-SG游戏，如果我们规定当局面中所有的单一游戏的SG值为0时，游戏结束，则先手必胜当且仅当：

(1)游戏的SG函数不为0且游戏中某个单一游戏的SG函数大于 1; (2)游戏的SG函数为0且游戏中没有单一游戏的SG函数大于1。

Multi-SG

有n堆石子，两个人可以从任意一堆石子中拿任意多个石子(不能不拿)或把一堆数量不少于2石子分为两堆不为空的石子，没法拿的人失败。问谁会胜利

分析

用sg函数来解决
操作1与nim游戏无异,对与一个石子数为k的点来说,后继可以为1..k
操作二实际上是将一个游戏分解为两个游戏，根据SG定理，两个有的的和为两个游戏的SG函数值得异或，我们可以通过异或运算把两个单一游戏连接到一起，作为一个后继状态
要是数据范围很大，SG函数就不能用了，有结论

S G (x) = ? ? ? x - 1 (x

hhhhhhhhhhh

定义

根据上面的游戏,定义Multi-SG游戏

Multi-SG 游戏规定，在符合拓扑原则的前提下，一个单一游戏的后继可以为多个单一游戏。

Multi-SG其他规则与SG游戏相同。注意在这里要分清楚后继与多个单一游戏

例题

HDU 3032

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=1001;
int read() {
char c=getchar();int x=0,f=1;
while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();}
while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘;c=getchar();}
return x*f;
}
int a[maxn],sg[maxn];
int main() {
int T=read();
while(T--) {
    int n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(a[i] % 4 == 0) sg[i] = a[i]-1;
        else if(a[i]%4==1||a[i]%4==2) sg[i] = a[i];
        else sg[i] = a[i]+1;
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans^=sg[i];
    if(ans)puts("Alice");
    else  puts("Bob");
}
return 0;
}

POJ 2311

#include<cstdio>
#include<cstring>
const int maxn=3824;
int read() {
char c=getchar();int x=0,f=1;
while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();}
while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘;c=getchar();}
return x*f;
}
int sg[maxn][maxn];//当前剩余i行 j列的sg函数 
int vis[maxn];
int main() {
int n=201,m=201;
for(int i=2;i<=n;i++) 
    for(int j=2;j<=n;j++) {
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(int k=2;k<=i-2;k++) vis[sg[k][j]^sg[i-k][j]]=1;    
        for(int k=2;k<=j-2;k++) vis[sg[i][k]^sg[i][j-k]]=1;
        for(int k=0;;k++) if(!vis[k]) {sg[i][j]=k;break;}
    }
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    puts(sg[n][m] ? "WIN" : "LOSE");
return 0;
}