整数划分

Posted 2020-11-07 INSTANCE_SELF

/这个问题比较难，看了半天还是不懂，只能记录下，以后再总结/

例如：6的划分：

6；

5+1；

4+2；4+1+1；

3+3；3+2+1；3+1+1+1；

2+2+2；2+2+1+1；2+1+1+1+1

1+1+1+1+1+1；

(1)当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};

     (2)当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};

     (3)当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

      (a)划分中包含n的情况，只有一个即{n}；

(b)划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。 因此 q(n,n) =1 + q(n,n-1);

    (4)当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于q(n,n);

(5)但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

  (a)划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，因此这情况下为q(n-m,m)

(b)划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为q(n,m-1);

 因此 q(n, m) = q(n-m, m)+q(n,m-1);

  综上所述：

q(n, m) =   1; (n=1 or m=1)

q(n,m) =  q(n, n); (n<m)

1+ q(n, m-1); (n=m)

q(n-m,m)+q(n,m-1); (n>m)

 

#include<iostream> 

using namespace std; 

int q(int n,int m) 

{ 

    if((n<1)||(m<1)) 

        return 0; 

    if((n == 1)||(m == 1)) 

        return 1; 

    if(n < m) 

        return q(n,n); 

    if(n == m) 

        return q(n,m-1)+1; 

    return q(n,m-1)+q(n-m,m); 

} 

int main() 

{ 

    cout<<q(6,6)<<endl; 

}