P3365 改造二叉树

Posted 2020-11-07 five20

题目背景

勤奋又善于思考的小L接触了信息学竞赛，开始的学习十分顺利。但是，小L对数据结构的掌握实在十分渣渣。

所以，小L当时卡在了二叉树。

题目描述

在计算机科学中，二叉树是每个结点最多有两个子结点的有序树。通常子结点被称作“左孩子”和“右孩子”。二叉树被用作二叉搜索树和二叉堆。随后他又和他人讨论起了二叉搜索树。什么是二叉搜索树呢？二叉搜索树首先是一棵二叉树。设key[p]表示结点p上的数值。对于其中的每个结点p，若其存在左孩子lch，则key[p]>key[lch]；若其存在右孩子rch，则key[p]<key[rch]；注意，本题中的二叉搜索树应满足对于所有结点，其左子树中的key小于当前结点的key，其右子树中的key大于当前结点的key。（因为小L十分喜欢装xx，所以这里他十分装xx的给大家介绍了什么是二叉树和二叉搜索树）。

可是善于思考的小L不甘于只学习这些基础的东西。他思考了这样一个问题：现在给定一棵二叉树，可以任意修改结点的数值。修改一个结点的数值算作一次修改，且这个结点不能再被修改。若要将其变成一棵二叉搜索树，且任意时刻结点的数值必须是整数（可以是负整数或0），所要的最少修改次数。

这一定难不倒聪明的你吧！如果你能帮小L解决这个问题，也许他会把最后的资产分给你1/16哦！

输入输出格式

输入格式：

第一行一个正整数n表示二叉树节点数。

第二行n个正整数用空格分隔开，第i个数ai表示结点i的原始数值。

此后n - 1行每行两个非负整数fa, ch，第i + 2行描述结点i + 1的父亲编号fa，以及父子关系ch，(ch = 0 表示i + 1为左儿子，ch = 1表示i + 1为右儿子)。

为了让你稍微减轻些负担，小L规定：结点1一定是二叉树的根哦！

输出格式：

仅一行包含一个整数，表示最少的修改次数

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3
2 2 2
1 0
1 1

输出样例#1： 复制

2

说明

20 % ：n <= 10 , ai <= 100.

40 % ：n <= 100 , ai <= 200

60 % ：n <= 2000 .

100 % ：n <= 10 ^ 5 ,  ai < 2 ^ 31.

 

Solution：

　　本题要使原树变为一棵二叉搜索树，等价于中序遍历这棵树，将得到的区间用最少的次数修改为严格上升序列。

　　那么我们建树后先求出区间，很容易想到修改次数$=$总的区间长度$-$最长上升子序列的长度，但是很显然会有问题，因为本题修改前后都是整数，如果直接按上面去求，对于$1,2,2,3$这类数据，会算得$4-3=1$，而很显然正确答案应该是$4-2=2$，原因是修改会出现冲突（即修改后两个数相同）。怎么解决这个问题呢？我们发现，严格单调上升，每个数至少和前一个数差一，每个位置上的数会受到前面的数限制，于是我们以第一个数为基础去做一个类似差分的操作，$a[i]-=(i-1)$，意味着第$i$位至少要比$a[1]$大$i-1$（即若第$3$位的数为$4$，那么第$3$位变为$2$，因为第$3$位至少比第一位数大$2$）。那么在新的差分的序列中求一下最长不下降子序列就$OK$了（由于数据比较大，需要二分，复杂度$O(nlogn)$）。

代码：

 

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define il inline 
 3 #define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
 4 using namespace std;
 5 const int N=1e5+5;
 6 int n,ans,w[N],ch[N][2],x,p,a[N],cnt,f[N],len;
 7 il int gi(){
 8     int a=0;char x=getchar();bool f=0;
 9     while((x<‘0‘||x>‘9‘)&&x!=‘-‘)x=getchar();
10     if(x==‘-‘)x=getchar(),f=1;
11     while(x>=‘0‘&&x<=‘9‘)a=(a<<3)+(a<<1)+x-48,x=getchar();
12     return f?-a:a;
13 }
14 il void dfs(int x){
15     if(!ch[x][0]&&!ch[x][1]){a[++cnt]=w[x];return;}
16     if(ch[x][0])dfs(ch[x][0]);
17     a[++cnt]=w[x];
18     if(ch[x][1])dfs(ch[x][1]);
19 }
20 int main(){
21     n=gi();
22     For(i,1,n)w[i]=gi();
23     For(i,2,n){
24         x=gi(),p=gi();
25         ch[x][p]=i;
26     }
27     dfs(1);
28     For(i,1,n)a[i]-=(i-1);
29     f[1]=a[1];len=1;f[0]=-2052052020;
30     int k,l,r,mid;
31     For(i,2,n){
32         if(f[len]<=a[i])k=(++len);
33         else {
34             l=0,r=len;
35             while(l<=r){
36                 mid=l+r>>1;
37                 if(a[i]>=f[mid]&&a[i]<f[mid+1]){k=mid;break;}
38                 else if(a[i]>=f[mid])l=mid+1;
39                 else r=mid-1;
40             }
41             k++;
42         }
43         ans=max(ans,k);f[k]=a[i];
44     }
45     cout<<n-ans;
46     return 0;
47 }