P2962 [USACO09NOV]灯Lights

Posted 2020-11-07 $mathcal{Lance1ot}$

P2962 [USACO09NOV]灯Lights

看完题面，我马上趁教练不注意 打开了某399小游戏。熟练地找到了这个游戏。颓废了一上午 就想到怎么做了。

233

对于一个灯和所以与他相连的等灯。每个灯只有按和不按两种情况。为什么呢？ 如果同一盏灯按了两次。就跟没按时一样的。三次亦是如此。由此可得，按奇数次的效果等于按了一次，按偶数次等于没按。

确定了这个关系，我们就可以使用位运算，异或进行列方程了。

啥？方程？等等，smg？

我们要求的是每个灯是否被按。

这就是我们的未知数。

我们设计一下系数，如果一盏灯对于其他的灯有影响，那么这盏灯所对应的未知数在被影响的灯的方程中就是一。如果某一盏灯对其他灯没有影响，他的系数就是0.（0异或任何数都是原数，对答案不产生影响）。

又由于异或具有交换律和结合律。所以可以用来移项。

---

而题目中是所问的是最少关多少盏灯灯全部打开所有灯。

这就提示我们，有很大可能会出现自由元（就是可以任意取值的未知数）

然后我们来看数据范围。

\(ok\)

位置数个数小于等于35.

枚举全部状态肯定不行。

不过如果只枚举自由元，再加上最优性剪枝，应该是可以跑过去的。

233

然后我是stl毒瘤选手。

怎么能不用bitset呢

另一道异或方程

#include<iostream> 
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<bitset>
using namespace std;
bitset<38>g[38];
int n,m;
void gauss()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int r=i;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(g[j][i])
            {
                r=j;
                break;
            }
        if(r!=i)
            swap(g[i],g[r]);
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(g[j][i])
                g[j]^=g[i];//bitset可以整体异或
    }
}
int ans=0x7fffffff;
int base[38];
void dfs(int now,int sum)//就是回带，now就是回带到多少个了（n~1），sum为当前开的灯的数量
{
    if(sum>ans)
        return ;
    if(now==0)
    {
        ans=min(ans,sum);
        return ;
    }
    if(g[now][now])
    {
        base[now]=g[now][n+1];
        for(int i=now+1;i<=n;i++)
            base[now]^=(base[i]&g[now][i]);//要乘系数。这里利用了与运算进行加速（为什么可以，可以自行枚举判断真确性）
        if(base[now])//如果这个灯是开的
            dfs(now-1,sum+1);
        else
            dfs(now-1,sum);
    }
    else//自由元
    {
        base[now]=0;
        dfs(now-1,sum);
        base[now]=1;
        dfs(now-1,sum+1);//枚举一波
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int a,b;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        g[i][n+1]=g[i][i]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        g[a][b]=1;
        g[b][a]=1;
    }
    gauss();
    dfs(n,0);
    printf("%d",ans);
}