题解报告：hdu 1028 Ignatius and the Princess III（母函数orDP）

Posted 2020-11-07 霜雪千年

Problem Description

"Well, it seems the first problem is too easy. I will let you know how foolish you are later." feng5166 says.
"The second problem is, given an positive integer N, we define an equation like this:
  N=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[m];
  a[i]>0,1<=m<=N;
My question is how many different equations you can find for a given N.
For example, assume N is 4, we can find:
  4 = 4;
  4 = 3 + 1;
  4 = 2 + 2;
  4 = 2 + 1 + 1;
  4 = 1 + 1 + 1 + 1;
so the result is 5 when N is 4. Note that "4 = 3 + 1" and "4 = 1 + 3" is the same in this problem. Now, you do it!"

Input

The input contains several test cases. Each test case contains a positive integer N(1<=N<=120) which is mentioned above. The input is terminated by the end of file.

Output

For each test case, you have to output a line contains an integer P which indicate the different equations you have found.

Sample Input

4

10

20

Sample Output

5

42

627

解题思路：这题既可以用动态规划，也可以用母函数。

DP原先是递归而来的，这里就直接讲递推吧！

首先定义dp[i][j]记录将整数i划分成所有元素都不大于j（即小于或等于j）的所有情况数，下面举个栗子：

当i=4，j=1时，要求划分得到的所有元素都不大于j，所以划分法只有1种：{1，1，1，1}；

当i=4，j=2时，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。只有2种：{1，1，1，1}，{2，1，1}，{2，2}；

当i=4，j=3时，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。只有3种：{1，1，1，1}，{2，1，1}，{2，2}，{3，1}；

当i=4，j=4时，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。只有4种：{1，1，1，1}，{2，1，1}，{2，2}，{3，1}，{4}；

当i=4，j=5，6.....n（n为自然数）时，。。。。。。。。。。只有4种：{1，1，1，1}，{2，1，1}，{2，2}，{3，1}，{4}；

从以上规律可以推出结论：当i==1||j==1，只有一种划分法；

当i<j时，由于发法不可能出现负数，所以dp[i][j]=dp[i][i]；

当i==j时，分两种情况：①如果要分出j这一个数，那么情况只有1种：{j}；②如果不分，那么就将i分成所有元素不大于j-1的若干份,dp[i][j]=dp[i][j-1]。所以总的情况数为dp[i][j]=dp[i][j-1]+1；

当i>j时，也分两种情况：①如果要分出j这一个数，注意此时的j<i，说明其剩下的（i-j）划分成的所有元素都在这个集合{j,a₁,a₂...}里，那么此时的dp[i][j]为把剩下的（i-j）这个整数划分成所有元素都不大于j时的情况数，即dp[i][j]=dp[i-j][j]；②如果不分，那么就将i分成所有元素不大于j-1的若干份,dp[i][j]=dp[i][j-1]。所以总的情况数为dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]。

AC代码之DP：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long LL;
 4 const int maxn = 125;
 5 LL dp[maxn][maxn];int n;//dp[i][j]记录将整数i划分成所有元素不大于j的所有情况数
 6 int main()
 7 {//打表
 8     for(int i=0;i<maxn;i++)//将整数i划分成所有元素不大于1的分法和将整数1划分成所有元素不大于i（其实只有1本身）的分法都为1种
 9         dp[i][1]=dp[1][i]=1;
10     for(int i=2;i<maxn;i++){//从2开始
11         for(int j=2;j<maxn;j++){
12             if(i<j)dp[i][j]=dp[i][i];
13             else if(i==j)dp[i][j]=dp[i][j-1]+1;
14             else dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j];
15         }
16     }
17     while(cin>>n){
18         cout<<dp[n][n]<<endl;//最后输出总的情况数，即将整数n划分成不大于n的所有情况数
19     }
20     return 0;
21 }