闲聊数学学习

Posted 2020-11-07 xiongruimath

　　最近学数学又有一些新的收获，且当睡前放松。

　　首先我认为选择一本合适的教科书是一件非常非常非常重要的事儿。这里并非说要挑一本绝佳的书，而是应该根据不同目的选择不同的书。

　　个人而言，我觉得本科阶段接触的数学都应该至少看过一遍证明。已经有很多人说证明不必要完全读懂，但是这个习惯我打算毕业之后再改。因此读证明是我学习过程中最花时间的项目，我觉得很多时候反而通过证明的过程才能看到定义的概念为何要如此定义。因此证明的可读性会是我的第一考量。可读性我认为是清晰是第一性的，当中应该没有过多的跳步，使用之前的还未成为常识的非平凡定理要至少要给出定理的名称。其次是解释证明的『点』，我认为经过雕琢的证明不大需要过多的解释，很多书写得非常啰嗦在证明之前解释了一串所谓想法，最后证明也不过尔尔，读完非常失落，但是必要的解释确是真正必须的。同时这个定理的意义在必要时也该被提及。然而很多经典的书并非按照这样的思路来写。他们有的时候只是为了和读者在前几章统一一下记号，有的时候则是纯粹为了所谓的『自包含』。因此初次阅读无需阅读经典，有些时候挑选新进的书是好的选择，关于这方面的选择可以现在GTM和UTM系列中搜索，擅用Mse和Mo，以及Springer的搜索。

　　同样个人而言，我喜欢『皇家的』建立径路（这来自于这个典故），这个代表是Serre和Rudin，他们到目前为止写了相当可观的书，他们定义概念的方式不出意外都是最为『本质的』，这非常有助于把握一些概念，同时他们的行文风格我也是最为喜爱，简单而言就是畅快，对于渴望知识的读者而言，这样的书再好不过：他们假定读者有相当的基础知识；同时将他们非常擅长转化，将问题化简；且常识都被一句话的解释带过；证明提纲挈领，『详略得当』，证明的要点将直接映入眼帘；其他地方不胜枚举。此时真的能体会到『和大师对话』的感觉。当然有的时候也会陷入困惑。如果作者能提供不同建立方式，并比较一同，甚至给出同一个证明的不同进路则更为可贵，这种书可遇不可求，目前我读到的书中约只有几本有能够做到。

　　定位一本书的好办法是读前言以及别人的评论，评论例如AMS，出版社的官方网站也会有评论。若要论及其地位，则需要通过学术搜索，检查其引用次数，例如Google学术（恕不链接）。同时通览全书，避免这书排版太差难以入眼不堪入目令人作呕（我认为不会把公式换行居中（例如如下的公式$$0\to A‘\to A\to A‘‘\to 0$$就是换行居中了的）的数学书应该留给考古学家去看）。当然直接去问专家（老师，同学）那本书可读，哪本书经典，或者这本怎么样。

　　有的书不喜欢解释这个结果从何而来（通常来自某种类比或者例子），或压根不举例子（或者只举平凡的例子）这都是这些书的弊病，且这样的书大行其道，我也不宜对这样的作者施以诅咒。我觉得并没有很好的应对措施（但是见文末的『补』），这恐怕有出版社控制页数的原因。

　　还有的书讲定理不耐烦，就是为了糊弄读者，我希望这样的作者活得也不耐烦。

　　就过程而言，我个人非常不喜欢做课后习题。我认为数学是通过模仿来学习的，所以看别人怎么做很重要，所以我非常讨厌证明不作解释，将关键的技巧和方法丢在习题的做法。我认为优秀的教科书习题应该和正文独立，写作而言，应该在理论建立到一定阶段后再命制习题，而不是一节一摞习题。且实际上很多作者设定的习题无非是两行之内就能够解释清楚的无聊事实，却在后文不断引用，这就是故弄玄虚，这样的作者我见到不少。我认为如果这书写得好的话，我通读完全书之后应该能直接解决至少3/4的习题。这和数学分析和高等代数的学习不一样，他们的结论因为理论的发展不断扩展这两个学科的内涵而致过于雄厚。但之后的课程即便是工具学科，也总带有某种『目的』，越是往后的课程越是如此，想要找到像数分高代一样四处开花的例子实在不多且这样的例子大多也并不简短，即便如此，也应该在每一章最后置一个『更多的例子』可以将大部分有趣味或稍有难度的例子展示出来，而不是出成习题祸害热情的学习者。

　　但是我会参考各种书，看他们怎么处理。或许现在已经不能指望读一本书就将某个知识学明白。

　　除此之外，我记过笔记，也有时候选择不记，有的时候还会躺着看，有的时候一天读一点，有的时候几天读一次。因此难免手忙脚乱，顾此失彼（因此现在十分怀念大一大二只用自修一门课的时光）。阶段性总结是好的办法。偶尔也会因为不够明快而不耐烦，压力在这里也免不了浮躁，给自己一些空闲的时间，保证休息，设计一个整段的时间来攻破某个难点。现在想想，之前学习数学就是那股『我一定要把这个东西搞明白』的冲劲在推进我继续。

　　最后，我如果对一些分支有了新的看法，我会写一本书。我觉得在写书过程中我又会重新学习这些知识。

　　个人而言，我所喜爱的数学，在于理解某个概念之后的畅快之情以及对于『这竟然是可以被理解』的惊叹之情。这样的喜爱方式过于细节，但是或许数学就是这样生长蔓延，才枝繁叶茂的。

 

补：最近一些老师给我灌输了一些『国外的月亮怎么个圆法』的事实。第一个老师告诉我，在国外会和水平接近的同龄人组成『工作小组』，一起学习，能够交流。第二个老师告诉我，国外的大牛能够给你把这些东西怎么来的都给解释清楚，而且能够汇通数学各个分支的对应。拭目以待吧！