对卡塔兰数的理解

Posted 2020-11-06 lidan-prime

卡塔兰数定义

f(n) = f(0)f(n-1) + f(1)f(n-2) + ... + f(n-1)f(0)

      = f(k-1)f(n-k) k=1...n

以k为轴划分子问题，左边子问题的解的个数和右边子问题的解的个数是原问题以k为轴的解法的2个独立步骤，适用乘法原理

分别以1，2，。。。n为轴，是原问题的n种解法，适用加法原理。

 

与卡塔兰数有关问题通常满足如下描述：有一个大问题A，规模为n，要解决这个问题，可以用分治的思想，首先固定其中某一个元素，将剩下的n-1个元素拆分成两个小问题，这两个小问题的规模分别是(0,n-1) (1,n-2) (2,n-3) ... (n-1,0)

举几个例子：
1. 二叉树计数，n个结点的二叉树，首先固定根节点，将剩下的n-1个结点拆分给左右子树
2. 三角形划分问题，凸(n+2)边形可以划分为n个三角形，首先固定一条边（即一个三角形），这个三角形将这个(n+2)边形拆分成两个更小的多边形。

 

有关卡塔兰数详细的数学证明，性质和应用，查阅维基百科卡塔兰数

 

有关卡塔兰数的几何证明（折线），参考某博主的博客卡塔兰数

 

下面是一个简单的卡塔兰数应用：

 

 

 

就跟斐波那契数列一样，我们把n = 0 时赋为1，因为空树也算一种二叉搜索树，那么n = 1时的情况可以看做是其左子树个数乘以右子树的个数，左右字数都是空树，所以1乘1还是1。那么n = 2时，由于1和2都可以为跟，分别算出来，再把它们加起来即可。n = 2的情况可由下面式子算出：

dp[2] =  dp[0] * dp[1]　　　(1为根的情况)

　　　　+ dp[1] * dp[0]　　  (2为根的情况)

同理可写出 n = 3 的计算方法：

dp[3] =  dp[0] * dp[2]　　　(1为根的情况)

　　　　+ dp[1] * dp[1]　　  (2为根的情况)

 　　　  + dp[2] * dp[0]　　  (3为根的情况)