holiday

Posted 2020-11-06 peppa

题目描述如下：

经过几个月辛勤的工作，FJ 决定让奶牛放假。假期可以在 1…N 天内任意选择一段（需要连 续），每一天都有一个享受指数 W。但是奶牛的要求非常苛刻，假期不能短于 P 天，否则奶 牛不能得到足够的休息；假期也不能超过 Q 天，否则奶牛会玩的腻烦。FJ 想知道奶牛们能 获得的最大享受指数。 Input(holiday.in) 第一行：N,P,Q. 第二行：N 个数字，中间用一个空格隔开。 Output(holiday.out) 一个整数，奶牛们能获得的最大享受指数。

Sample Input 5 2 4 -9 -4 -3 8 -6

Sample Output 5

Limitation time:1s

memory:65536kb 50%

1≤N≤10000 100%

1≤N≤100000

１<=p<=q<=n Hint

选择第 3-4 天，享受指数为-3+8=5。

 

题解

这道题用到前缀和和RMQ，先来啰嗦一下RMQ

看了RMQ的PPT，我好像恍然大悟，弄懂了以前没有弄懂的式子。。

趁热来为自己写一下吧，免得明天就忘光了。

首先f[i][j]这个东西的含义和平常不同，它表示的是a[i]到a[i+2^j-1]（咳咳注意这里的是2^j-1而不是2^（j-1）），之所以-1，当然是算上i啦，所以f[i][j]一共包含了2^j个数。然后通过代数，会发现2^j的一半是2^(j-1)，这样，把一条含2^j个元素的线段拆成两半，每半含有的元素个数是2^（j-1）个。

现在看状态转移方程，就是让我懵了好久的方程，还好我自己反应过来了。

f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2^(j-1)][j-1])

边界条件为f[i][0]=A[i]

起初菜菜的我不明白为什么两边都是j-1,现在我知道了，因为是2^（j-1）嘛！从i到i+2^（j-1）-1，元素个数为2^（j-1）,这就和上述的解释对应上了，此时是求前半段的最大值；而后面的j-1,是在i+2^（j-1）这个数的基础上加的，也就是从i+2^(j-1)到i+2^(j-1)+2^(j-1)-1，嗯。。。不高深，只是我太菜。

至于边界条件，从a[i]到a[i+2^0-1]就是a[i]，存的是a[i]的本身。

预处理f数组的时间复杂度就是O(NlgN)

现在我要为这一页PPT写一页解析。

首先是第一行的2^x<=R-L+1。它只是题目中的一个条件，2^x是一个元素的个数（一个元素占一个单位那么它也就相当于长度了），小于区间的长度（R-L+1是区间的长度）。

如图所示，这里虽然把区间[L,R]分成了两部分，但并不是平分的，而是有一部分重叠的（但是两区间的长度还是一样的），所以上面文本框中的“2^j的一半是2^(j-1)”就用不到了，取而代之的，是[L,L+2^x-1](这个都懂，不用解释）。然后又让我发蒙的是下面的[R+1-2^x,R]，别皱眉啊，这不就是把[R,R+2^x-1]中的2^x-1从右边挪到左边了吗？！，减过去就完事了。

最下面的式子也一样，x代表的是左边数的加上2^x-1这么多的数，并不是到x这个位置也不是这个数。吼吼吼，这个弄懂了，现在还剩的问题就是这个东西和        

     东西在int上的区别。。。根据张雪大佬                        

说，它是一个整数一个不一定是整数，但是如果一开始设x为整数的话这就没什么区别了。。。

 

好了啰嗦完毕，已经清楚的知道了RMQ。那么这道题的思路就是，先预处理出前缀和，然后在用RMQ求出前缀和i+p到i+q中的最大值（别忘了前缀和是从1到第i+p或第i+q天）（至于i枚举即可。，于是，求出这个最大值后，还要减去i的前缀和，就得到从i天开始休息的最大享受值。

end;