公约公倍数

Posted 2020-11-06 narisu

问题描述

输入两个正整数，求其最大公约数和最小公倍数。

输入格式

每行输入两个正整数 a, b (1≤a,b≤10⁴)，空格隔开。

输出格式

输出两行，分别是 a, b 的最大公约数和最小公倍数。

代码

package javaexam;

import java.util.Scanner;

public class CommonDM
{
    public static void main(String[] args)
    {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        
        int a = input.nextInt();
        int b = input.nextInt();
        
        // 求a、b的最大公约数
        System.out.println(fun(a, b));
        // 最小公倍数 = 两整数的乘积 ／ 最大公约数
        System.out.println(a * b / fun(a, b));
    }
    
    static int fun(int m, int n)
    {
        // 辗转相除法求最大公约数
        if(m % n == 0)
            return n;
        else
            return fun(n, m % n);
    }
}

样例测试

2 3
1
6

辗转相除法

假设有两个数x和y，存在一个最大公约数z=(x,y)，即x和y都有公因数z，
那么x一定能被z整除，y也一定能被z整除，所以x和y的线性组合mx±ny也一定能被z整除。
（m和n可取任意整数）

对于辗转相除法来说，思路就是：若x>y，设x/y=n余c，则x能表示成x=ny+c的形式，将ny移
到左边就是x-ny=c，由于一般形式的mx±ny能被z整除，所以等号左边的x-ny（作为mx±ny的
一个特例）就能被z整除，即x除y的余数c也能被z整除。

z是x和y的公约数，并且是最大公约数：
由于z=mx±ny，所以x,y的任意公因数都整除z，所以z是最大的。

疑问

程序中a和b的输入是，大小顺序无关。即：
case 1 :

2 3
1
6

case 2 :

3 2
1
6

结果相同。

原因：fun()函数里已经考虑做了case 2 的情况。当 a 大于 b 时，交换 a 和 b 的值。即：fun()函数里交换 m 和 n 的值。最后都是 较大的数 % 较小的数 。