MIT线性代数公开课学习笔记第16~20课

Posted 2020-11-06 Yongkang Zhang

十六、投影矩阵和最小二乘

给出\\(n\\)组\\(m-1\\)个自变量的数据点(用\\(n\\times m\\)大小的矩阵\\(A\\)表示，其中第一列均为1，代表常数项)，以及它们的真实取值(用n维列向量\\(b\\)表示)，现在需要用一个\\(m-1\\)元未知数的线性方程来拟合这组数据点。可以用非齐次线性方程组\\(AX=b\\)表示。

一般来说这个方程组是无解的，即\\(b\\notin C(A)\\)，我们需要找到一个近似的\\(\\hat b,\\hat X\\)，使得\\(A\\hat X=\\hat b\\)。其中\\(b_i\\)是第\\(i\\)个数据点的真实取值，\\(\\hat b_i\\)是第\\(i\\)个数据点通过拟合直线的近似取值，如下图所示：

在第十五课已经讲过，最小二乘法的损失函数是均方差函数，即：

\\[\\mathrm{minimize}\\ \\ \\sum_{i=1}^m(b_i-\\hat b_i)^2 \\]

换言之：

\\[\\mathrm{minimize}\\ \\ \\|b-\\hat b\\|^2 \\]

为直观起见，这里的\\(\\mathrm{dim}C(A)=2\\)，则\\(b\\)投影到\\(C(A)\\)上的向量\\(\\hat b\\)如图所示，显然\\(e=b-\\hat b,e\\perp C(A)\\)，因此此时\\(\\|e\\|=\\|b-\\hat b\\|\\)是最小的。

根据第十五节的知识，我们可以令投影矩阵\\(P=A(A^TA)^{-1}A^T\\)，则：

\\[\\hat b=Pb=A(A^TA)^{-1}A^Tb \\]

\\[A\\hat X=\\hat b \\]

上式左右同时左乘\\(A^T\\)：

\\[A^TA\\hat X=A^TA(A^TA)^{-1}A^Tb=A^Tb \\]

根据这个非齐次线性方程组便可以解出\\(\\hat X\\)，也就能得到这个拟合的直线方程了。

十七、正交矩阵和Gram-Schmidt正交化

正交矩阵和Gram-Schmidt正交化在国内的各类线代教材中都有出现，这里不做过多赘述。

这里值得一提的是，前\\(t-1\\)个线性无关向量\\(\\alpha_1\\cdots \\alpha_{t-1}\\)已正交化为\\(\\beta_1\\cdots \\beta_{t-1}\\)，正交化第\\(t\\)个向量\\(\\alpha t\\)的过程，就是将其投射到\\(C(\\beta_1\\cdots \\beta_{t-1})\\)这个空间中，然后获得误差向量的过程。

如上图，若已获得两个正交化的向量\\(\\beta_1,\\beta_2\\)，则首先将\\(\\alpha_3\\)投射到\\(C(\\beta_1,\\beta_2)\\)得到\\(\\mathrm{Prj}_{C(\\beta_1,\\beta_2)}\\alpha_3\\)

则

\\[\\beta_3=\\alpha_3-\\mathrm{Prj}_{C(\\beta_1,\\beta_2)}\\alpha_3=\\alpha_3-\\mathrm{Prj}_{\\beta_1}\\alpha_3-\\mathrm{Prj}_{\\beta_2}\\alpha_3 \\]

由十五课的投影相关的内容可得

\\[\\beta_3=\\alpha_3-(\\alpha_3,\\beta_1)\\frac{\\beta_1}{\\|\\beta_1\\|}-(\\alpha_3,\\beta_2)\\frac{\\beta_2}{\\|\\beta_2\\|} \\]

十八、行列式性质

国内线代教材包含了此课中的所有内容，此处不作过多赘述。

十九、行列式公式

根据行列式的性质，将三阶行列式按第一行拆分，如下图：

然后对每个行列式，将其按第二行拆分，以此类推，最终可以得到：

类似地，对于\\(n\\)阶行列式\\(\\mathrm{det}(a_{i,j})_{n\\times n}\\)而言，可以将其拆分为

\\[\\sum(-1)^x\\mathrm{Permutation}\\{1,2,\\cdots,n\\} \\]

其中\\(\\{i,j,\\cdots,l\\}\\)表示的是\\(a_{1,i}a_{2,j}\\cdots a_{n,l}\\),\\(x\\)是序列\\(\\{i,j,\\cdots,l\\}\\)的逆序对个数，\\(\\mathrm{Permutation}\\{1,2,\\cdots,n\\}\\)表示的是1到n的全排列

如果我们把其中含\\(a_{i,j}\\)的项全部提出来，就能得到\\(a_{i,j}\\)对应的代数余子式\\(A_{i,j}\\)

二十、克拉默法则

国内线代教材包含了克拉默法则相关的内容，此处不作过多赘述。

值得一提的是二阶(三阶)行列式的值与面积(体积)的关系。

对于一个二阶矩阵A

\\[A=\\begin{pmatrix}a & b\\\\c & d\\end{pmatrix} \\]

而言，\\(|\\mathrm{det}(A)|\\)就是如下平行四边形的面积：

实际上这和叉积是完全相同的：

\\[|det(A)|=|ad-bc|=|\\{a,b\\}\\times \\{c,d\\}| \\]

对于一个三阶矩阵A

\\[A=\\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\\end{pmatrix} \\]

而言，\\(|\\mathrm{det}A|\\)就是如下图所示的平行六面体的体积

这符合混合积的定义：

\\[V=|(\\{a_{1,1},a_{1,2},a_{1,3}\\}\\times \\{a_{2,1},a_{2,2},a_{2,3}\\})·\\{a_{3,1},a_{3,2},a_{3,3}\\}| \\]

而且二阶(三阶)行列式的性质也有几何意义。如对于三阶行列式A的某一行乘以2得到A\'，则A\'=2A，相当于是对应的向量长度乘2，则该平行六面体体积也乘2