斜率凸优化小结
前言
很久以前考了一道叫做"林克卡特树"的题目( 还记得被八省联考支配的恐惧吗？)
正解是用直线去切一个凸函数......
当时并不是很会。然而\\(APIO\\)讲课竟然讲了并且卧槽我竟然还听懂了。
所以就回来把这个坑给填了。
斜率凸优化
当遇到关于需要恰好选取\\(K\\)个的\\(DP\\)问题的时候，
一般做法就是在\\(DP\\)数组上再设一维。这样做时间代价是\\(O(n)\\)的。
其实不如给每次选取加一个权值\\(C\\)。
那么每次选取就需要付出\\(C\\)的代价。所以\\(C\\)越大选的越少，\\(C\\)越小选的越多。
所以？二分\\(C\\)即可。时间代价变为\\(O(logn)\\)。
形象的来说，对于\\(DP\\)数组，取\\(E\\)个时的答案\\(best(E)\\)是一个上凸的。
所以我们用\\(f(x) = Cx\\)这条直线去切这个上凸包，直到\\(best(K)-KC\\)是最优的。
那么此时选取的个数就是题目所需的\\(K\\)个了。
下面给一张图(引用自cjfdf)：
例1：[APIO2014]序列分割
题目戳这里
可以发现，对于不在同一段的任意两个元素\\(a\\),\\(b\\)，都对答案有\\(ab\\)的贡献。
所以处理出前缀和\\(pre\\)。
那么转移：\\(f_{i,j} = max\\{f_{k,j-1} + pre_k * (pre_i - pre_k)\\}\\)。
斜率优化不解释，复杂度\\(O(nK)\\)，可以直接通过原题。
如果\\(K \\leq 200\\) 变为\\(K \\leq n\\)呢？ 直接斜率凸优化即可，复杂度\\(O(nlogK\')\\)。
代码戳这里
例2：[八省联考2018]林克卡特树lct
题目戳这里
本质上就是要选择出\\(K+1\\)条不相交的路径使它们的权值和最大。
考虑树形\\(DP\\)。设\\(f_{u,j,0/1/2}\\)分别表示\\(u\\)点的度数为\\(0/1/2\\)时的最优解。
定义\\(Ans_{u,j}\\)表示\\(max\\{f_{u,j,0/1/2}\\}\\)。
转移：
对于\\(f_{u,j,0}\\)有：
- \\(f_{u,j,0} = max\\{ f_{u,j-t,0} + Ans_{v,t} \\}\\)
对于\\(f_{u,j,1}\\)有：
- \\(f_{u,j,1} = max\\{ f_{u,j-t,1} + Ans_{v,t}\\}\\)
- \\(f_{u,j,1} = max\\{ f_{u,j-t,0} + f_{v,t,1} + Edge_{u,v}\\}\\)
- \\(f_{u,j,1} = max\\{ f_{u,j-t-1,0} + f_{v,t,0} + Edge_{u,v}\\}\\)
对于\\(f_{u,j,2}\\)有：
- \\(f_{u,j,2} = max\\{ f_{u,j-t,2} + Ans_{v,t}\\}\\)
- \\(f_{u,j,2} = max\\{ f_{u,j-t+1,1} + f_{v,t,1} + Edge_{u,v}\\}\\)
上述转移复杂度\\(O(nK^2)\\)，不够优秀。
发现对于 表示选择个数的第二维\\(j\\) 可以进行斜率凸优化。
直接斜率凸优化即可，复杂度变为\\(O(nlogK\')\\)。实现代码戳我。