「BZOJ1485」[HNOI2009] 有趣的数列 卡特兰数列

Posted 2020-11-05 paul120090105（AFO）

「BZOJ1485」[HNOI2009] 有趣的数列

 

Description

 我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

   (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{a_i}；

   (2)所有的奇数项满足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶数项满足a₂<a₄<…<a_2n；

   (3)任意相邻的两项a_2i-1与a_2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a_2i-1<a_2i。

   现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

 

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

 

Output

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

 

Sample Input

3 10

 

Sample Output

5

 

对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

 

题解

 

对于 A₄ 来说 它一定大于前三个

对于 A₃ 来说 它一定小于后五个

所以可以推断 A_I <2*i

可以容易得到一个n^2的dp

f[i][j]表示前i位填到数字j的方案，即第i位用的是j

f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][j-1] (j<=2*i-1)

f[i][j]=f[i][j-1] (j>2*i-1)

输出前几项，发现是个卡特兰数列  F(n)=C(2*n,n)/(n+1)

分解质因数求即可

至于为什么是卡特兰数列？其实就是从左往右扫每个数，把放在奇数项看作入栈，偶数看作出栈

 

50 分 dp

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,mod;
int f[1005][2005];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&mod);
    for(int i=0;i<=2*n;i++) f[0][i]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=2*n;j++)
            if (j<=2*i-1) f[i][j]=(f[i][j-1]+f[i-1][j-1])%mod;
            else f[i][j]=f[i][j-1]%mod;
    printf("%d\\n",f[n][2*n]);
    return 0;
}

 

 100 分 卡特兰

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=1e6+5;
ll pri[MAXN],mn[MAXN*2],num[MAXN*2],ans=1;
int n,mod,cnt;
bool use[MAXN*2];
void getpri(){
    for (int i=2;i<=2*n;i++){
        if (!use[i]) pri[++cnt]=i,mn[i]=cnt;
        for (int j=1;pri[j]*i<=2*n&&j<=cnt;j++){
            use[pri[j]*i]=1,mn[pri[j]*i]=j;
            if (i%pri[j]==0) break;
        }
    }
}
void add(int x,int f){
    while (x!=1){
        num[mn[x]]+=f;
        x/=pri[mn[x]];
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&mod);
    getpri();
    for (int i=2*n;i>n;i--) add(i,1);
    for (int i=1;i<=n;i++) add(i,-1);
    add(n+1,-1);
    for (int i=1;i<=cnt;i++) while (num[i]--) ans=(ans*pri[i])%mod;
    printf("%lld\\n",ans);
    return 0;
}