BZOJ3669: [Noi2014]魔法森林

Posted 2020-11-05 符拉迪沃斯托克

BZOJ3669: [Noi2014]魔法森林

Description

为了得到书法大家的真传，小E同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐士。魔法森林可以被看成一个包含个N节点M条边的无向图，节点标号为1..N，边标号为1..M。初始时小E同学在号节点1，隐士则住在号节点N。小E需要通过这一片魔法森林，才能够拜访到隐士。

魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候，这条边上的妖怪就会对其发起攻击。幸运的是，在号节点住着两种守护精灵：A型守护精灵与B型守护精灵。小E可以借助它们的力量，达到自己的目的。

只要小E带上足够多的守护精灵，妖怪们就不会发起攻击了。具体来说，无向图中的每一条边Ei包含两个权值Ai与Bi。若身上携带的A型守护精灵个数不少于Ai，且B型守护精灵个数不少于Bi，这条边上的妖怪就不会对通过这条边的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中没有任意一条边的妖怪向小E发起攻击，他才能成功找到隐士。

由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事，小E想要知道，要能够成功拜访到隐士，最少需要携带守护精灵的总个数。守护精灵的总个数为A型守护精灵的个数与B型守护精灵的个数之和。

Input

第1行包含两个整数N,M，表示无向图共有N个节点，M条边。

接下来M行，第行包含4个正整数Xi,Yi,Ai,Bi，描述第i条无向边。

其中Xi与Yi为该边两个端点的标号，Ai与Bi的含义如题所述。

注意数据中可能包含重边与自环。

Output

输出一行一个整数：如果小E可以成功拜访到隐士，输出小E最少需要携带的守护精灵的总个数；如果无论如何小E都无法拜访到隐士，输出“-1”（不含引号）。

Sample Input

【输入样例1】
4 5
1 2 19 1
2 3 8 12
2 4 12 15
1 3 17 8
3 4 1 17
【输入样例2】
3 1
1 2 1 1

Sample Output

【输出样例1】
32
【样例说明1】
如果小E走路径1→2→4，需要携带19+15=34个守护精灵；
如果小E走路径1→3→4，需要携带17+17=34个守护精灵；
如果小E走路径1→2→3→4，需要携带19+17=36个守护精灵；
如果小E走路径1→3→2→4，需要携带17+15=32个守护精灵。
综上所述，小E最少需要携带32个守护精灵。
【输出样例2】
-1
【样例说明2】
小E无法从1号节点到达3号节点，故输出-1。

HINT

2<=n<=50,000

0<=m<=100,000

1<=ai ,bi<=50,000

题解Here!

乍一看，怎么看怎么像最短路。。。

然后这题真的能拿最短路跑。。。

联想最小生成树，以需要精灵b的数量为要求，把边排序。

然后只需要考虑精灵a的数量，根据精灵a的数量建图，用d数组储存这条路径上的精灵a的最小值，跑spfa。

d[n]就是到n的最小需要精灵a的个数。

根据精灵b排好序的边，一点一点的加，加一次跑一遍spfa，更新最小值。

但是加一遍跑一遍肯定TLE啊。

再想优化方法——发现加一遍跑一遍根本没必要！

因为边是排好序的，所以前面的边d的值肯定是最小值，无需更新，所以就不超时了。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
#define MAXN 100010
#define MAX 999999999
using namespace std;
queue<int> q;
int n,m,c=1;
int head[MAXN],path[MAXN];
bool vis[MAXN];
struct node1{
	int next,to,a,b;
}a[MAXN<<1];
struct node2{
	int u,v,w1,w2;
}b[MAXN];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<\'0\'||c>\'9\'){if(c==\'-\')w=-1;c=getchar();}
	while(c>=\'0\'&&c<=\'9\'){date=date*10+c-\'0\';c=getchar();}
	return date*w;
}
bool cmp(const node2 &x,const node2 &y){
	if(x.w1==y.w1)
	return x.w2<y.w2;
	return x.w1<y.w1;
}
inline int relax(int u,int v,int w){
	if(max(path[u],w)<path[v]){
		path[v]=max(path[u],w);
		return 1;
	}
	return 0;
}
void add(int u,int v,int w1,int w2){
	a[c].to=v;a[c].a=w1;a[c].b=w2;
	a[c].next=head[u];
	head[u]=c++;
	a[c].to=u;a[c].a=w1;a[c].b=w2;
	a[c].next=head[v];
	head[v]=c++;
}
void spfa(int s,int t){
	int u,v;
	vis[s]=vis[t]=true;
	q.push(s);q.push(t);
	while(!q.empty()){
		u=q.front();
		q.pop();
		vis[u]=false;
		for(int i=head[u];i;i=a[i].next){
			v=a[i].to;
			if(relax(u,v,a[i].b)&&!vis[v]){
				vis[v]=true;
				q.push(v);
			}
		}
	}
}
void work(){
	int ans=MAX;
	for(int i=1;i<=n;i++){path[i]=MAX;vis[i]=false;}
	path[1]=0;
	vis[1]=true;
	q.push(1);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		add(b[i].u,b[i].v,b[i].w1,b[i].w2);
		spfa(b[i].u,b[i].v);
		ans=min(ans,b[i].w1+path[n]);
	}
	printf("%d\\n",ans==MAX?-1:ans);
}
int main(){
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++){b[i].u=read();b[i].v=read();b[i].w1=read();b[i].w2=read();}
	sort(b+1,b+m+1,cmp);
	work();
	return 0;
}

但是正解不是这个，正解是LCT。

将边按照a排序，然后加一条权值为b的边，动态维护最小生成树。

边权的处理参照：BZOJ2594: [Wc2006]水管局长数据加强版

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define MAXN 200010
#define MAX 2147483646
using namespace std;
int n,m;
int head[MAXN],fa[MAXN],val[MAXN];
struct node{
	int u,v,x,y;
}a[MAXN];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<\'0\'||c>\'9\'){if(c==\'-\')w=-1;c=getchar();}
	while(c>=\'0\'&&c<=\'9\'){date=date*10+c-\'0\';c=getchar();}
	return date*w;
}
namespace LCT{
	int top,stack[MAXN];
	struct Link_Cut_Tree{
		int f,flag,son[2];
		int v;
	}a[MAXN];
	inline bool isroot(int rt){
		return a[a[rt].f].son[0]!=rt&&a[a[rt].f].son[1]!=rt;
	}
	inline void pushup(int rt){
		if(!rt)return;
		a[rt].v=rt;
		if(a[rt].son[0]&&val[a[a[rt].son[0]].v]>val[a[rt].v])a[rt].v=a[a[rt].son[0]].v;
		if(a[rt].son[1]&&val[a[a[rt].son[1]].v]>val[a[rt].v])a[rt].v=a[a[rt].son[1]].v;
	}
	inline void pushdown(int rt){
		if(!rt||!a[rt].flag)return;
		a[a[rt].son[0]].flag^=1;a[a[rt].son[1]].flag^=1;a[rt].flag^=1;
		swap(a[rt].son[0],a[rt].son[1]);
	}
	inline void turn(int rt){
		int x=a[rt].f,y=a[x].f,k=a[x].son[0]==rt?1:0;
		if(!isroot(x)){
			if(a[y].son[0]==x)a[y].son[0]=rt;
			else a[y].son[1]=rt;
		}
		a[rt].f=y;a[x].f=rt;a[a[rt].son[k]].f=x;
		a[x].son[k^1]=a[rt].son[k];a[rt].son[k]=x;
		pushup(x);pushup(rt);
	}
	void splay(int rt){
		top=0;
		stack[++top]=rt;
		for(int i=rt;!isroot(i);i=a[i].f)stack[++top]=a[i].f;
		while(top)pushdown(stack[top--]);
		while(!isroot(rt)){
			int x=a[rt].f,y=a[x].f;
			if(!isroot(x)){
				if((a[y].son[0]==x)^(a[x].son[0]==rt))turn(rt);
				else turn(x);
			}
			turn(rt);
		}
	}
	void access(int rt){
		for(int i=0;rt;i=rt,rt=a[rt].f){
			splay(rt);
			a[rt].son[1]=i;
			pushup(rt);
		}
	}
	inline void makeroot(int rt){access(rt);splay(rt);a[rt].flag^=1;}
	int find(int rt){
		access(rt);splay(rt);
		while(a[rt].son[0])rt=a[rt].son[0];
		return rt;
	}
	inline void split(int x,int y){makeroot(x);access(y);splay(y);}
	inline void link(int x,int y){makeroot(x);a[x].f=y;}
	inline void cut(int x,int y){split(x,y);if(a[y].son[0]==x&&a[x].f==y&&!a[x].son[1])a[y].son[0]=a[x].f=0;}
	inline int query(int x,int y){split(x,y);return a[y].v;}
}
bool cmp(const node &x,const node &y){
	return x.y<y.y;
}
inline int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
inline void uniun(int x,int y){x=find(x);y=find(y);if(x!=y)fa[y]=x;}
void work(){
	int u,v,x,y,ans=MAX;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		u=a[i].u;v=a[i].v;x=a[i].x;y=a[i].y;
		bool flag=true;
		if(find(u)==find(v)){
			int w=LCT::query(u,v);
			if(val[w]>x){
				LCT::cut(a[w-n].u,w);
				LCT::cut(w,a[w-n].v);
			}
			else flag=false;
		}
		else uniun(u,v);
		if(flag){
			LCT::link(u,i+n);
			LCT::link(i+n,v);
		}
		if(find(1)==find(n))ans=min(ans,a[i].y+val[LCT::query(1,n)]);
	}
	printf("%d\\n",ans==MAX?-1:ans);
}
void init(){
	int u,v,x,y;
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		a[i].u=read();a[i].v=read();
		a[i].x=read();a[i].y=read();
	}
	sort(a+1,a+m+1,cmp);
	for(int i=1;i<=n+m;i++)LCT::a[i].v=fa[i]=i;
	for(int i=n+1;i<=n+m;i++)val[i]=a[i-n].x;
}
int main(){
	init();
	work();
	return 0;
}