NOIP2016提高A组模拟8.15Garden

Posted 2020-11-05 无尽的蓝黄

题目

分析

其实原题就是【cqoi2012】【bzoj2669】局部极小值。
有一个n行m列的整数矩阵，其中1到nm之间的每个整数恰好出现一次。如果一个格子比所有相邻格子（相邻是指有公共边或公共顶点）都小，我们说这个格子是局部极小值。
给出所有局部极小值的位置，你的任务是判断有多少个可能的矩阵。

发现，X的位置最多有8个，那我们考虑状压dp。
我们从小到大把数填进去，用\(f_{i,j}\)表示，把第i个数填进去后，每个X是否被填了数，用二进制数j表示。
预处理出\(rest_j\)表示填充状态为j时共有多少位置是可以填充的(包括已填充的局部极小值位置)
转移：
\[f_{i,j}=f_{i-1,j}*(rest_j-(i-1))+\sum_{k\in{j}}f_{i-1,j-2^{k-1}}\]
但是有些不是为X的位置有可能也是局部极小值，那么我们用容斥，每次把一下有可能出现局部极小值的地方改为X，当额外增加的X的个数为奇数，ans就减去dp得所得的答案，否则ans加上dp得所得的答案。
其中dp方面这篇论文（第5页到第8页）讲的非常清楚

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
const int maxlongint=2147483647;
const int mo=12345678;
const int N=10;
int z[9][2]=
{
{-1,-1},
{-1,0},
{-1,1},
{0,-1},
{0,1},
{1,-1},
{1,0},
{1,1},
{0,0}   
};
int a[N][N],T,n,m,ans,f[N*N][2000],mi[10],sign[N][2],tot,rest[2000];
char c[N][N];
bool bz[N][N];
int val()
{   
    tot=0;
    int state=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(c[i][j]=='X')
            {
                state+=mi[tot];
                sign[++tot][0]=i;
                sign[tot][1]=j;
            }
        }
    for(int i=0;i<=state;i++)
    {
        memset(bz,true,sizeof(bz));
        rest[i]=0;
        for(int j=1;j<=tot;j++)
            if((mi[j-1]&i)==0)
            {
                for(int k=0;k<=8;k++)
                {
                    bz[sign[j][0]+z[k][0]][sign[j][1]+z[k][1]]=false;
                }
            }
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=1;k<=m;k++)
            {
                if(bz[j][k])
                    rest[i]++;
            }
    }
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n*m;i++)
        for(int j=0;j<=state;j++)
        {
            f[i][j]=0;
            (f[i][j]+=f[i-1][j]*(rest[j]-i+1)%mo)%=mo;
            for(int k=1;k<=tot;k++)
            {
                if(mi[k-1]&j)
                {
                    (f[i][j]+=f[i-1][j-mi[k-1]])%=mo;
                }
            }
        }
    return f[n*m][mi[tot]-1];
}
int dg(int x,int y,int z1)
{
    if(x>n)
    {
        (ans+=(val()*(z1%2?1:-1))%mo)%mo;
        return 0;
    }
    int xx=x,yy=y+1;
    if(yy>m)
    {
        yy=1;
        xx++;
    }
    dg(xx,yy,z1);
    bool q=true;
    for(int i=0;i<=8;i++)
    {
        if(c[x+z[i][0]][y+z[i][1]]=='X')
        {
            q=false;
            break;
        }
    }
    if(q)
    {
        c[x][y]='X';
        dg(xx,yy,z1+1);
        c[x][y]='.';
    }
}
int main()
{
    mi[0]=1;
    for(int i=1;i<=9;i++)
        mi[i]=mi[i-1]*2; 
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        tot=0;
        ans=0;
        memset(c,0,sizeof(c));
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                c[i][j]=getchar();
                while(c[i][j]!='X' && c[i][j]!='.') 
                    c[i][j]=getchar();
                if(c[i][j]=='.')
                    tot++;
            }
        }
        if(tot==n*m)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }   
        for(int i=1;i<=n && ans!=-1;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                bool q=true;
                if(c[i][j]=='X')
                for(int k=0;k<=7;k++)
                {
                    if(c[i+z[k][0]][j+z[k][1]]=='X')
                    {
                        q=false;
                        ans=-1;
                        break;
                    }
                }
                if(!q)
                {
                    ans=-1;
                    break;
                }
            }
        }
        if(ans==-1)
        {
            printf("0\n");
        }
        if(ans!=-1)
        {
            dg(1,1,1);
            printf("%d\n",(ans%mo+mo)%mo);
        }
    }
}