莫队算法

Posted 2020-11-05 genius777

什么是莫队，就是暴力嘛！！！学完后很多人都会这么说，就是有着一个很迷性质的优化，优化完了你都不知道为什么的优化。

莫队算法的效率就取决与你分块的方式了，那么我们就来看看莫队是怎样实现优化的。

先来看一道题：小B的询问

题目描述

小B有一个序列，包含N个1~K之间的整数。他一共有M个询问，每个询问给定一个区间[L..R]，求Sigma(c(i)^2)的值,其中i的值从1到K，其中c(i)表示数字i在[L..R]中的重复次数。小B请你帮助他回答询问。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行，三个整数N、M、K。

第二行，N个整数，表示小B的序列。

接下来的M行，每行两个整数L、R。

 

输出格式：

 

M行，每行一个整数，其中第i行的整数表示第i个询问的答案。

 

输入输出样例

输入样例#1： 

6 4 3
1 3 2 1 1 3
1 4
2 6
3 5
5 6

输出样例#1：

6
9
5
2

说明

对于全部的数据，1<=N、M、K<=50000

---

 

如果你还没有学过莫队（如果学过了，还看什么博客啊！！！），这道题多半的第一反应是线段树之类的数据结构，但会发现这道题的区间合并很难实现，因为单纯质朴线段树并不资瓷某个数出现次数的合并，当然要是你写不清真的树套树（权值线段树套区间线段树）还是可以过的，说不定还贼快，但是莫队同样可以过的，我们干嘛大费周章地去写树套树呢？？？

首先我们来看看暴力是怎么实现的：

我们首先有两个指针，为现在处理到了的区间左端点和右端点，如果当前处理到的提问的区间的左右端点不重合，那么我们就跳跳跳！！！将指针移到需要求的区间对应左右端点，如图所示：

 

如果我们的左指针小于区间左端点，将左端点向后跳

如图，很显然我们会发现我们向右移动后，我们失去了一个黄色的块（与数字是一样的），所以黄色块的数量减一，判断一下减去这个黄色块之后，如果区间黄色块的个数变为零了，那么总的种类减一。

如果我们的右指针小于区间左端点，将右端点向后跳

如图，很显然我们会发现我们向右移动后，我们多了一个橙色的块（与数字是一样的），所以橙色块的数量加一，判断一下加上这个橙色块之后，如果区间橙色块的个数变为一了，那么总的种类加一。

 

左右端点的左移同理。

【莫队登场】

显然上述的暴力我们的左右指针会在区间里疯狂乱跳，跳而dying，结果肯定GG。

那么现在就需要莫队的奇妙性质来优化了，不难想到我们需要的是让指针尽量地少地跳，最好一路跳过去不用往回跳那就是O(n)的了（不过这在题目里基本不现实）。

这里发现在线的算法并不能很好地满足这样的性质，我们考虑把询问离线下来，然后对其进行排序，使其尽量优秀一点。

我们将询问的左端点进行分块操作，块的大小可以是sqrt(n)也可以是n^(2/3)，但据说后者好像在带修改时最为理想。

然后我们对其排序，以左端点的所属块的顺序为第一关键字，右端点为第二关键字。

1 bool cmp(sd a,sd b)
2 {
3     if(be[a.l]==be[b.l]) return a.r<b.r;
4     return be[a.l]<be[b.l]; 
5 }

当然这里排序的关键字多种多样，每道题对于不同的排序方法复杂度还不一样，所以这就是莫队很迷的地方，好像也没看到网上有统一的排序方式，只好随缘哦。。。

如果不慎，就像我一样，死在分块的道路上，TLE在黄泉路上，拉都拉不回来！！！以图为证：

---

 

莫队时间复杂度证明：（这里是借用别人的证明，看看就好）

0.首先我们知道在转移一个单位距离的时候时间复杂度是O（1）

1：对于左端点在同一块中的询问：
右端点转移的时间复杂度是O（n），一共有√n块，所以右端点转移的时间复杂度是O（n√n）
左端点每次转移最差情况是O（√n），左端点在块内会转移n次，左端点转移的时间复杂度是O（n√n）；

2：对于左端点跨越块的情况：
会跨区间O（√n）次；
左端点的时间复杂度是O（√n*√n）=O（n）可以忽略不计
右端点因为在跨越块时是无序的，右端点跨越块转移一次最差可能是O（n），可能跨越块转移√n次，所以时间复杂度是O（n√n）

所以总的来说莫队的时间复杂度是O（n√n）；

【代码实现】

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cmath>
 3 #include<cctype>
 4 #include<algorithm>
 5 #define N 50005
 6 #define LL long long 
 7 using namespace std;
 8 int read()
 9 {
10     int c,x,f;
11     while(!isdigit(c=getchar())&&c!=\'-\'); c==\'-\'?(x=0,f=1):(x=c-\'0\',f=0);
12     while(isdigit(c=getchar())) x=(x<<3)+(x<<1)+c-\'0\'; return f?-x:x;
13 }
14 int n,m,k,x[N],cnt[N];
15 LL ANS[N];
16 struct que{
17     int l,r,id,b;
18 }q[N];
19 bool cmp(que a,que b)
20 {
21     if(a.b==b.b) return a.r<b.r;
22     return a.l<b.l;
23 }
24 int main()
25 {
26     n=read(); m=read(); k=read();
27     int size=sqrt(n);
28     for(int i=1;i<=n;i++) x[i]=read();
29     for(int i=1;i<=m;i++)
30     q[i].l=read(),q[i].r=read(),q[i].id=i,q[i].b=(q[i].l-1)/size+1;
31     sort(q+1,q+m+1,cmp);
32     int l=1,r=0; LL ans=0;
33     for(int i=1;i<=m;i++)
34     {
35         while(l>q[i].l) l--,cnt[x[l]]++,ans+=2*cnt[x[l]]-1;
36         while(r<q[i].r) r++,cnt[x[r]]++,ans+=2*cnt[x[r]]-1;
37         while(r>q[i].r) cnt[x[r]]--,ans-=2*cnt[x[r]]+1,r--;
38         while(l<q[i].l) cnt[x[l]]--,ans-=2*cnt[x[l]]+1,l++;
39         ANS[q[i].id]=ans; 
40     }
41     for(int i=1;i<=m;i++) printf("%lld\\n",ANS[i]);
42     return 0;
43 }