[SDOI2010][BZOJ 1925]地精部落

Posted 2020-11-05 PaperCloud

Description

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。

Input

仅含一行，两个正整数 N, P。

Output

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

 

题解:

　　首先呢，刚看完题目，就感性地来了个三方dp，还以为题目大水，结果TLE了三个测试点，都是泪……

加代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-‘0‘;ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,mod;
int f[4205][2][4205],ans;
int main(){
    n=read(),mod=read();
    f[2][1][2]=f[2][0][1]=1;
    f[3][0][1]=f[3][0][2]=f[3][1][2]=f[3][1][3]=1;
    register int i,j,k;
    for(i=4;i<=n;i++)
    for(j=1;j<=i;j++){
        for(k=1;k<j;k++) f[i][1][j]=(f[i][1][j]+f[i-1][0][k])%mod;
        for(k=j;k<i;k++) f[i][0][j]=(f[i][0][j]+f[i-1][1][k])%mod;
    }
    for(i=1;i<=n;i++) ans=(ans+f[n][0][i]+f[n][1][i])%mod;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

　　正解不是很难理解，首先，三个性质了解一下：

　　First : 对于每一个 数字 i 和 i+1 ， 如果这两个数不是相邻的，那么交换两个数字的对应的方案数是一样的！ 比如有 波动序列 3241532415 和 1243512435

　　Second: 我们由 1~n 的波动数列的任意一种，将每一个 ai? 都可以用（n+1） 减去，那么得到的新的序列其实还是合法的,而且相对的山谷和山峰会改变！

　　　　　　比如有 波动序列 3241532415 和 3425134251 

　　Third : 波动数列具有对称性......（那不是废话）

　　DP[i][j]表示 选 1 To i 这些数字，第一个数为山峰，且第一个数为 j；答案就是 ∑ DP[N][j] (j = 1 to N)

　　DP[i][j]=DP[i][j-1]+DP[i-1][i-j+1]

 

　　证明：由性质一可知，当j与j-1不相邻的时候，j作为头所有的方案数与j-1作为头的方案数相同，于是就有DP[I][J]=DP[I][J-1];

　　对于DP[i][j]+=DP[i-1][i+j-1];就是当j 与 j-1相邻时的情况；

　　我们可以这么想，我第一个数选择了J 并且定义为山峰，那我第二个数j-1必定为山谷，后面的数属于[1,j-1]和[j+1,i]；

　　此时问题转化成了求 i-1个数，j-1为头，但是j-1 为山谷的方案数，由性质2可知，j-1作山谷和作山峰的方案数相同；

　　现在的问题就是，此时的区间和我DP方程的区间意义不同；

　　没关系；因为山峰与山谷是相对位置关系，将[j+1,i]区间的每个数都减一，这样是不改变相对大小关系的，并且此时就符合我们的方程了；

　　另外，我DP[i-1][j-1]表示的是J-1为山顶时的个数，为了让其表示J-1为山谷的情况，要改成DP[i-1][(i-1+1)-(j-1)]；

　　这样就得到了我们的转移方程，我们可以用滚动数组优化空间；

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-‘0‘;ch=getchar();}
    return x*f;
}
int f[2][4205];
int n,mod,ans;
int main(){
    n=read(),mod=read();    
    f[0][2]=1;
    for(int i=3;i<=n;i++)for(int j=2;j<=i;j++)
       f[i&1][j]=(f[i&1][j-1]+f[(i-1)&1][i-j+1])%mod;
    ans=0;
    for(int j=2;j<=n;j++)ans=(ans+f[n&1][j])%mod;    
    printf("%d",(ans<<1)%mod);
    return 0;
}

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