MT189二次条件配方

Posted 2020-11-05 青春的记忆

(2017北大特优)若对任意使得关于 \(x\) 的方程 \(ax^2+bx+c=0\)（\(ac\ne 0\)）有实数解的 \(a,b,c\) 均有 \((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqslant rc^2\)，则实数 \(r\) 的最大值是_____
A．\(1\)
B．\(\frac 98\)
C．\(\frac{9}{16}\)
D．\(2\)
答案:$\dfrac{9}{16}$
提示:令$\dfrac{b}{c}=m,\dfrac{a}{c}=n,$则只需在满足$m^2-4n\ge0$时,求$m^2+n^2-mn-m-n+1$的最小值.
注意到$80(m^2+n^2-mn-m-n+1)-30(m^2-4m)=2(5m-4n-4)^2+(4n-1)^2+45\ge45$，即得.