DP中平方的转换

Posted 2020-11-05 milky-w

NOI 2009 管道取珠

……设第 i 种输出序列的产生方式（即不同的操作方式数目）有 ai 个，Σai=C(n+m,n)。求 Σ(ai)²。

直接求 ai 是不好做的，由于平方的存在，可以看做两个人同时玩这个游戏，得到的序列完全相同的个数。

 

---

 

2017/11/01 胡策 T3

一年一度的运动会开始了。有 N 个选手参赛，第 i 个选手有一个能力值 Ai，比赛一共进行了 2^M 天。
在第 j 天 (0?j?2^M−1) 的比赛中，第 i 个选手的得分为 A[i] xor j，然后从大到小排名，排名为 x (x 从 0 开始) 的同学会获得 x^2 的积分。
你需要求出每个同学最后总的积分和 q[i] 模 1e9+7 的结果 p[i]。为了避免输出文件过大，你只要输出 p[i] 的异或和即可。

对于 10% 的数据，M <= 5；
对于 30% 的数据，N <= 100；
对于 50% 的数据，N <= 1000；
对于 100% 的数据，N <= 200000，M <= 30，A[i] < 2^M。

　　

　　这个题的“得分”和“积分”好坑。。

　　考虑 x^2 的意义，相当于两个人 (可以相同) 同时排在选手 i 前面的组合数。
　　考虑异或的性质，两个数的大小取决于二进制中不相同的最高位，而这里异或的是一段连续的数 0~2^(M-1)，所以 A 排在 B 前面的天数为 2^M / 2 即 2^(M-1) 天，A 和 C 同时排在 B 前面的天数就是 2^(M-2) 天，因为要使两个二进制数位同时等于 1。对于每个人，求出 f[i] 表示能力值与他不相同的最高位为第 i 位的人数，枚举 i 和 j，累加 f[i] * f[j] * 2^(M-2)。

　　求 f[i] 的过程可以用 trie。总的复杂度大概是 O(NM^2)。

 

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<map>
 6 #define ll long long
 7 
 8 using namespace std;
 9 
10 const int N=200003;
11 const int mod=1000000007;
12 int n,m,A,ch[N*30][2],tot=0,sz[N*30];
13 ll ans=0;
14 
15 void insert(int A)
16 {
17     int now=0;
18     for (int i=m-1;i>=0;i--)
19     {
20         int x=(A>>i)&1;
21         if (!ch[now][x]) ch[now][x]=++tot;
22         now=ch[now][x];
23         sz[now]++;                 //每个节点上的子串个数 
24     }
25 }
26 
27 void dfs(int x,ll sum,ll num)
28 {
29     ll tmp,size;
30 
31     size=sz[ch[x][1]],tmp=0;
32     tmp=size*size%mod*(1<<m-1)%mod;
33     tmp=(tmp+size*num%mod*(1<<m-1)%mod)%mod;
34     if (ch[x][0]) dfs(ch[x][0],(sum+tmp)%mod,num+size);
35 
36     size=sz[ch[x][0]],tmp=0;
37     tmp=size*size%mod*(1<<m-1)%mod;
38     tmp=(tmp+size*num%mod*(1<<m-1)%mod)%mod;
39     if (ch[x][1]) dfs(ch[x][1],(sum+tmp)%mod,num+size);
40 
41     if (!ch[x][0]&&!ch[x][1]) ans^=sum;
42 }
43 
44 map<int,bool> vis;
45 
46 int main()
47 {
48     freopen("race.in","r",stdin);  
49     freopen("race.out","w",stdout);
50     scanf("%d%d",&n,&m);
51     for (int i=1;i<=n;i++) 
52     {
53         scanf("%d",&A);
54         insert(A);
55         if (vis.count(A)) return 0;
56         vis[A]=1;
57     }
58     dfs(0,0,0);
59     printf("%lld",ans);
60     return 0; 
61 }

View Code