LCA 最近公共祖先

Posted 2020-11-04 *Miracle*

1.倍增LCA

通过记录f[i][j],每个点第2的j次方个父亲的编号，来找LCA

代码中，先要处理出每个点的深度，和father（f[i][0]），然后倍增求出所有的祖先。

work的时候，利用二进制拆分的思想，先把两个节点向上翻到同一个深度，再同时向上翻，直到到了lca的儿子位置，再返回f[x][0]（f[y][0]）即可。

优点：容易理解，代码不难。

缺点：f数组空间较大，并且求法单一，难以与其他模型结合。

复杂度：每次O(logn)，多次O(mlogn)

核心部分：

int main()
{
   for(int j=1;j<=L;j++)
     for(int i=1;i<=n;i++)
     {
        f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
     }
    dep[0]=-1;//important!!
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int t=i;
        for(int j=L;j>=0;j--)
        if(f[t][j]!=0)
        {
            t=f[t][j];
            dep[i]+=(1<<j);
        }
    }
}
int LCA(int x,int y)
{
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    for(int j=L;j>=0;j--)
    {if(dep[f[x][j]]>=dep[y])
     x=f[x][j];
    }

    if(x==y) return x;
    for(int j=L;j>=0;j--)
     if(f[x][j]!=f[y][j])
      x=f[x][j],y=f[y][j];
    return f[x][0]; 
}

2.树链剖分LCA

常规树剖操作，两次dfs，找到top数组。

每次，将dep[top[]]较深的向上找到fa[top[]]，直到top[x]=top[y]为止。最后返回浅的位置编号。

优点：可以和树剖其他操作结合，找lca就是分分钟的事。

缺点：单纯lca代码量较大，（也不太大），记录东西较多，同意漏。

核心部分：

int fa[N],dep[N],son[N],top[N],size[N];//全部需要的数组
int work(int x,int y)//lca部分
{
    while(top[x]!=top[y])
    {
        if(dep[top[x]]>dep[top[y]]) swap(x,y);
        y=fa[top[y]];
    }
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    return y;
}

3.Tarjan LCA

利用tarjan的思想，通过并查集实现对子树的缩点，离线操作处理LCA问题。

用邻接表记录下询问信息之后，我们只需要从根节点开始处理，不停询问子树后回溯。边求边更新并查集fa的值。

向下循环的时候，每一个点被访问的时候，fa都是自己的编号。

当一棵子树被处理完了之后，这棵子树的fa就到了这棵树的根节点，以后还没有处理的lca，都至少已经是这个fa了。

处理子树x的时候，先循环与之有关的询问，如果y已经vis过了，就可以更新lca为fa[y]，因为x必然在fa[y]的子树中，且不在y所在的子树中。

之后向下循环，处理所有的儿子，回溯的时候，处理fa[y]=x;

这样复杂度就是线性的，每个询问被循环最多两次，每个子树被访问一次。

优点：复杂度低。O(n+m)。

缺点：必须离线操作。

复杂度：O(n+m)

代码核心：

void add2(int x,int y,int numb)
{
    w[++tot].nxt=pre[x];
    w[tot].to=y;
    w[tot].num=numb;
    pre[x]=tot;
}
int fin(int x)
{
    if(fa[x]==x) return x;
    return fa[x]=fin(fa[x]);
}
void tarjan(int x)
{
    fa[x]=x;
    vis[x]=1;
    for(int i=pre[x];i;i=w[i].nxt)
    {
        int y=w[i].to;
        if(vis[y])
         lca[w[i].num]=fin(y);
    }
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to;
        if(!vis[y])
        {
            tarjan(y);
            fa[y]=x;
        }
    }
}

参考Tarjan离线算法求最近公共祖先（LCA）

应用：

多次查找树上两点之间的距离，可以预处理到根节点dis值。

dis[i][j]=dis[i]+dis[j]-2×dis[lca(i,j)]