实变函数部分定理

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了实变函数部分定理相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

定理 \(\mathbb R^n\)中点集外测度具有以下性质:
(1)非负性:\(m^*(E)\geqslant0,m^*(\varnothing)=0;\)
(2)单调性:若\(E_1\subset E_2,\)\(m^*(E_1)\leqslant m^*(E_2);\)
(3)次可加性:\(\displaystyle m^*\Big(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\Big)\leqslant\sum_{k=1}^\infty m^*(E_k);\)
(4)平移不变性:\(m^*(E+\{x\})=m^*(E),\forall x\in\mathbb R^n,\)其中\[E+\{x\}=\{y+x|y\in E\}.\]

定理\(m^*(E)=0,\)\(E\in\mathfrak M.\)

定理 \(\mathbb R^n\)中的开矩体\(I\in\mathfrak M,\)\(m(I)=|I|.\)

定理 可测集性质:
(1)\(\varnothing\in\mathfrak M,m(\varnothing)=0;\)
(2)若\(E\in\mathfrak M,\)\(E^c\in\mathfrak M;\)
(3)若\(E,F\in\mathfrak M\),则\(E\cup F,E\cap F,E\setminus F\in\mathfrak M;\)
(4)可列可加性:若\(E_j\in\mathfrak M,j=1,2,\cdots,\)\(\displaystyle\bigcup_{j=1}^\infty E_j\in\mathfrak M;\)若还有\(E_i\cap E_j=\varnothing(i\ne j),\)\[m(\bigcup_{j=1}^\infty E_j)=\sum_{j=1}^\infty m(E_j).\]

推论\(E_j\in\mathfrak M(j=1,2,\cdots),\)\(\displaystyle\bigcap_{j=1}^\infty E_j\in\mathfrak M.\)

定理 若有递增可测集列\(E_1\subset E_2\subset\cdots\subset E_k\subset\cdots,\)\(\lim\limits_{k\to\infty}E_k\in\mathfrak M,\)\[m(\lim_{k\to\infty}E_k)=\lim_{k\to\infty}m(E_k).\]

推论\(E_1\supset E_2\supset\cdots\supset E_k\supset\cdots\)是递减可测集列,且\(m(E_1)<\infty\),则\[m(\lim_{k\to\infty}E_k)=\lim_{k\to\infty}m(E_k).\]

定理\(E\in\mathfrak M\),则\(\forall x\in\mathbb R^n,E+\{x\}\in\mathfrak M\)成立.

定理\(E\)是可测集,则存在Borel集\(G,F,\)使\(F\subset E\subset G,\)\(m(F)=m(G)=m(E).\)

定理\(f\)是可测集\(E\)上一个实函数,则以下诸条件互相等价:
(1)\(f\in\mathfrak M(E);\)
(2)\(\forall t\in\mathbb R,E(f\geqslant t)\)是可测集;
(3)\(\forall t\in\mathbb R,E(f<t)\)是可测集;
(4)\(\forall t\in\mathbb R,E(f\leqslant t)\)是可测集.

定理 对任意可测集\(E,E\)上的简单函数是可测的.

定理\(E\subset\mathbb R^n\)是可测集,则\(f(x)\)\(E\)上非负可测函数的充分必要条件是,存在\(E\)上的非负简单函数列\(\{\psi_k(x)\},\)使得\[0\leqslant\psi_1(x)\leqslant\psi_2(x)\leqslant\cdots\leqslant\psi_k(x)\leqslant\cdots,\\\lim_{k\to\infty}\psi_k(x)=f(x),\quad\forall x\in E.\]

定理\(f(x),g(x)\)\(E\)上的可测函数,则\(cf(x)(c\in\mathbb R),f(x)g(x)\)\(E\)上的可测函数;\(f(x)+g(x)\)\(f(x)/g(x)\)是其有定义的集合上的可测函数.

推论\(E\subset\mathbb R^n\)是可测集,则\(E\)上连续函数均为可测函数,即\(C(E)\subset\mathfrak M(E).\)

定理\(\{f_k(x)\}\)是可测集\(E\subset\mathbb R^n\)上的可测函数列,则下列函数:
(1)\(\sup\limits_{k\geqslant1}\{f_k(x)\};\)
(2)\(\inf\limits_{k\geqslant1}\{f_k(x)\};\)
(3)\(\varlimsup\limits_{k\to\infty}\{f_k(x)\};\)
(4)\(\varliminf\limits_{k\to\infty}\{f_k(x)\}\)
都是\(E\)上的可测函数.

推论\(\{f_k(x)\}\)是可测函数\(E\)上的可测函数列,且有\[\lim_{k\to\infty}f_k(x)=f(x),\]\(f(x)\)\(E\)上的可测函数.

定理\(E\subset\mathbb R^n\)是可测集,则\(E\)上实值函数\(f(x)\)是可测的充分必要条件是,\(f^+(x),f^-(x)\)都是\(E\)上的可测函数.当\(f(x)\)\(E\)可测时,\(|f(x)|\)在集合\(E\)上也是可测的.

定理\(f(x)\)\(\mathbb R\)上的连续函数,\(g(x)\)\(\mathbb R^n\)中可测集\(E\)上的可测函数,则复合函数\[h(x)=f(g(x))\]\(E\)上的可测函数.

定理\(E\subset\mathbb R^n\)是可测集,\(f(x),g(x)\)\(E\)上两个函数.如果\(f(x)\)\(g(x)\)\(E\)上几乎处处相等,即存在一个集合\(E_0\subset E\),满足\(m(E_0)=E,\)使得函数\(f\)\(g\)在集合\(E\setminus E_0\)上处处相等,则当其中一个在\(E\)上可测时,另一个在\(E\)上也可测.

Его?ров定理\(f(x),f_1(x),f_2(x),\cdots,f_k(x),\cdots\)是可测集\(E\)上几乎处处有限的可测函数集,并且\(m(E)<\infty.\)\(f_k\to f,\text{a.e.}[E],\)\(\{f(x)\}\)几乎一致收敛于\(f(x).\)

定理 若函数列\(\{f_k(x)\}\)\(E\)上依测度收敛于函数\(f(x)\)\(g(x),\)\(f(x)\)\(g(x)\)几乎处处相等.

定理 设函数列\(\{f_k(x)\}\)是可测集\(E\)上的几乎处处有限的可测函数列且\(m(E)<\infty.\)\(\{f_k(x)\}\)\(E\)上几乎处处收敛,则\(\{f_k(x)\}\)\(E\)上依测度收敛于同一极限函数.

Riesz定理\(f(x),\{f_k(x)\}\)是可测集\(E\)上几乎处处有限的可测函数列.若\(\{f_k(x)\}\)\(E\)上依测度收敛于\(f(x),\)则存在子列\(\{f_{k_i}(x)\},\)使得\[\lim_{i\to\infty}f_{k_i}(x)=f(x),\quad\text{a.e.}[E].\]

定理\(\{f_k(x)\}\)是可测集\(E\)上几乎处处有限的可测函数列,则\(\{f_k(x)\}\)是依测度收敛的充分必要条件是,它还是依测度基本列.

Luzin定理\(f(x)\)是可测集\(E\)上的几乎处处有限的可测函数,则对任给\(\delta>0,\)存在\(E\)中的一个闭集,满足\(m(E\setminus F)<\delta,\)使得\(f(x)\)\(F\)上的连续函数.

推论\(f(x)\)是可测集\(E\in\mathbb R^n\)上的几乎处处有限的可测函数,则存在\(\mathbb R^n\)上的连续函数列\(\{g_k(x)\},\)使\(\{g_k(x)\}\)\(E\)上几乎处处收敛到\(f(x)\).

引理\(F\subset\mathbb R^n\)是一个非空闭集,函数\(f(x)\)\(F\)上的连续函数,则存在\(\mathbb R^n\)上的连续函数\(g(x)\),使得\(g|_F=f,\)\(\displaystyle\sup_{x\in\mathbb R^n}|g(x)|=\sup_{x\in F}|f(x)|.\)

推论\(f(x)\)是可测集\(E\)上的几乎处处有限的函数.则\(f(x)\)可测的充分必要条件是,存在\(E\)上连续函数列列\(\{g_k(x)\},\)使得\(\{g_k\}\)几乎处处收敛到\(f\).

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