Robert 的军队

Posted 2020-11-03 无尽的蓝黄

题目

分析

在比赛时，我经过反复的验证，搞出了一个结论：有一个序列，如果把一个大于等于原序列中所有数的数加入该序列，那么这新序列的方差一定不由于原序列的方差。
//暂无证明
首先我们很容易想到既然要求方差，自然将\(h\)从小到大排个序，这样可以保证选取一段区间中的数的方差会优于随机选的。
接着，
根据上面的结论，我们知道，现在就可以求出在序列中长度为\(l\)的区间的方差的最小值。
由于太认真想，暂时想不到别的方法，
于是我想出一个很逗比的方法，
对于每一个长度为\(l\)的区间，我们都可以用\(O(logN)\)的时间复杂的来求出平均差：用前缀和求出区间的平均数，二分找到区间中的最小的大于等于平均数的数的位置，那么，区间前面的部分小于平均数，后面的大于等于平均数，就可以求出平均差了。
接着，平均差最小的区间的方差就是答案了，

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
const long long maxlongint=2147483647;
const long long mo=1000000007;
const long long N=100005;
using namespace std;
long long h[N],sum[N],d[N],n,p,p1;
double mn=1.0*maxlongint;
long long rf(long long l,long long r,double _x)
{
    while(l<r)
    {
        long long mid=(l+r)/2;
        if(h[mid]*1.0>=_x)
            r=mid;
        else
            l=mid+1;
    }
    return l;
}
int main()
{
    freopen("army.in","r",stdin);
    freopen("army.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&p,&p1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&h[i]);
    }
    sort(h+1,h+1+n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        sum[i]=sum[i-1]+h[i];
    }
    for(long long i=1;i<=n-p+1;i++)
    {
        long long t=i+p-1;
        double _x=(sum[t]-sum[i-1])*1.0/(1.0*p);
        long long pos=rf(i,t,_x);
        double s=(abs((sum[pos-1]-sum[i-1])-_x*(pos-i))+(sum[t]-sum[pos-1])-_x*(t-pos+1))*1.0/(1.0*p);
        if(s<mn)
        {
            mn=s;
            d[0]=1;
            d[1]=i;
        }
        else
        if(s==mn)
        {
            d[++d[0]]=i;
        }
    }
    double ans=maxlongint*1.0;
    for(long long i=1;i<=d[0];i++)
    {
        double _x=(sum[d[i]+p-1]-sum[d[i]-1])*1.0/(1.0*p),num=0;
        for(long long j=d[i];j<=d[i]+p-1;j++)
        {
            num+=(h[j]-_x)*(h[j]-_x);
        }
        num=num/(1.0*p);
        if(num<ans)
        {
            ans=num;
        }
    }
    printf("%.3lf",ans);
}