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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了群论 - Group Theory相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
群的定义
若非空集合\(G\)和定义在\(G\)上的二元运算\(?\)构成的代数结构\((G,?)\),满足:
- 封闭性:\(\forall a,b\in G\),有\(a?b\in G\)。
- 结合律:\(\forall a,b,c\in G\),有\((a?b)?c=a?(b?c)\)。
- 单位元:\(\exists e\in G\),满足\(\forall a\in G\)有\(a?e=a\)。
- 逆元:\(\forall a\in G\),\(\exists b\in G\)使得\(a?b=e\),记\(a^{-1}=b\)。
则代数结构\((G,?)\)是一个群(group)。
常见的群有:整数、有理理数、实数加法群;模\(n\)意义下的加法群;模\(n\)意义下与\(n\)互质的数构成的乘法群;置换群,群的元素是一个双射\(f\),运算为映射的复合。
拉格朗日定理
对于群\((G,?)\),若有\(G'\subset G\)且\((G',?)\)也是群,则称\((G',?)\)是\((G,?)\)的子群,且\(|G|\)是\(|G'|\)的倍数。
证明:
记\(G_a\)表示集合\(G\)的陪集\(\{x?a|x\in G\}\),那么易知\(|G_a|=|G|\)。
对于\(a,b\in G\),若有\(G'_a\cap G'_b \neq \emptyset\),则\(\exists x,y\in G'\)满足\(x?a=y?b ? a=x^{-1}?y?b\)。
那么\(\forall z\in G'\),有\(z?a=z?(x^{-1}?y?b)=(z?x^{-1}?y)?b\)。易知\(z?x^{-1}?y \in G'\),所以\(G'_a\)中的每一个元素都存在于\(G'_b\)中,即\(G'_a=G'_b\)。
于是可知\(G'\)的陪集之间只有两种关系,互不相交或完全相同。而由于\(e\in G'\),所以\(G'\)的所有陪集的并就是\(G\)。又由于陪集的大小等于原集合,所以\(|G|\)是\(|G'|\)的倍数。
由拉格朗日定理可以推出欧拉定理\(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m\)。
证明:
设集合\(S=\{a_1,a_2,...,a_{\varphi(n)}\}\),其中\(gcd(a_i,n)=1\)。\(S\)与模乘法形成的代数结构\((S,\times)\)是群。
那么设\(S_i=\{1,a_i,a_i^2,a_i^3...\}\),易知\((S_i,\times)\)是\((S,\times)\)的子群,即\(|S_i||\varphi(n)\)。而\(a_i^{|S_i|}\equiv 1\),所以\(a_i^{\varphi(n)}\equiv 1\)。
つづく...
以上是关于群论 - Group Theory的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
《小学生都能看懂的群论从入门到升天教程》 《群论全家桶》
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