SIFT算法的Matlab实现

Posted 2020-07-11 sununs11

个人博客原文：http://www.sun11.me/blog/2016/sift-implementation-in-matlab/

这是一次作业，内容是给出两张图像，检测特征点和匹配特征点。要求不能用诸如OpenCV的现成特征点检测函数。于是就只能造轮子了，写了这个Matlab版的sift。（其实就是把c语言的opensift翻译成了matlab

以下是算法流程，其实网上的类似博文已经很多了，只不过我看的过程中也看得不很明白，只能对照着好几个看，所以干脆自己又写了一遍。下面的图均来自于参考资料中，然而参考资料的图也是来自于参考资料的参考资料中。

1. 构建尺度空间

定理1 对图像做 $\sigma = \sigma_1$ 的高斯平滑，再做一次 $\sigma = \sigma_2$ 的高斯平滑，等效于对原图像做一次 $\sigma = \sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}$ 的高斯平滑。

1.1 构建高斯金字塔

高斯卷积核是实现尺度变换的唯一线性核（Koenderink, 1984; Lindeberg, 1994）。

一幅图像的尺度空间被定义为对其做可变尺度的高斯卷积：

$$\begin{split} L(x,y,\sigma)&=G(x,y,\sigma) * I(x,y)\其中G(x,y,\sigma)&=\frac{1}{2\pi\sigma^2}e^{-(x^2+y^2)/2\sigma^2} \end{split}$$

对于给定的彩色图像，转化为灰度图像，用不同大小的$\sigma$做高斯平滑（按照 3$\sigma$ 准则，高斯核矩阵的大小设为 $(6\sigma+1)\cdot(6\sigma+1)$ ，并保证行和列为奇数），再此基础上将图像降采样得到不同大小的组(octave)，每组若干图像(interval)。详细描述如下：

为了得到更多的特征点，将图像扩大为原来的两倍。假设原图像已有 $\sigma=0.5$ 的高斯平滑，而我们需要第一个octave的第一张图像的 $\sigma=1.6$ ，按照定理1，我们要对扩大两倍的图像做一次高斯平滑，$\sigma=\sqrt{1.6^2-(0.5\times2)^2}$ 。

上一个octave的图像的长度和宽度分别是下一个octave的图像的两倍。因此图像组数(octaves)可由图像大小决定，将其设为 $log_2(min(height,width))$ $-\ 2$ ，这样将使顶层octave图像的长度和宽度最小值在8像素左右。

设第m个octave的第n张图像相对于原始图像的参数$\sigma$为 $sigma(m,n)$，则$sigma(1,1)=\sigma_0=1.6$。每个octave有s+1张图像（即intervals），这样得到的高斯差分金字塔(DoG)每个octave将有s张图像，我们设s为3。为了满足在不同octave间尺度的连续性，并使 $sigma(m,n)=$ $2 \cdot sigma(m-1,n)$，按照定理1，则：

$$\begin{split} sigma(1,n)&=\sigma_0\cdot k^{n-1},其中k=2^{1/s}\sigma(m,n)&=\sigma_0\cdot 2^{m-1}\cdot k^{n-1} \end{split}$$

如上图所示，在第一个octave中尺度为k3?