线段树初步

Posted 2020-11-03 CaptainLi

蒟蒻终于要开始好好学线段树了……

线段树是一种二叉树形结构（二叉搜索树），属于平衡树的一种。它将线段区间组织成树形的结构，并用每个节点来表示一条线段[a,b]。每个节点的左右儿子线段分别是该线段的左半[a,(a+b)/2]和右半[(a+b)/2+1,b]区间，递归定义之后就是一棵线段树。

1.建树

既然线段树是递归建立的，那么我们就在递归到叶节点的时候把数据植入，之后递归返回的时候，将要修改的节点的值修改为其子节点的值之和即可。

void build(int l,int r,int x)//递归建树，到叶节点输入，之后递归返回修改 
{
    if(l == r)    
    {
        tree[x] = read();
        return;
    }
    int mid = (l+r) >> 1;
    build(l,mid,x << 1);
    build(mid+1,r,x << 1 | 1);
    tree[x] = tree[x << 1] + tree[x << 1 | 1];
} 

2.单点修改（增加或者删除）

因为每条节点表示一条线段……所以在单点修改的时候我们只要找到需要修改的节点所在的位置，之后当当前区间l==r的时候修改这个点就可以。如果要删除，就往里面传负数就行。

注意修改结束之后返回的时候也要……递归把其父亲和祖先的值都修改一遍。

void update(int k,int val,int l,int r,int x)//单点修改 
{
    if(l == r)
    {
        tree[x] += val;
        return;
    }
    int mid = (l+r) >> 1;
    if(k <= mid) update(k,val,l,mid,x << 1);
    else update(k,val,mid+1,r,x << 1 | 1);
    tree[x] = tree[x << 1] + tree[x << 1 | 1];
}//k为要修改的节点编号，val为修改值，l，r为左右区间

3.区间查询 

给定一段区间，求区间中所有元素之和。

当我们当前访问的区间其被完全包含于所求区间的时候，直接把这段区间和加上即可。

否则的话我们进行二分，把所求区间分割成更小的区间，之后找到能被其完全包含的区间进行累加即可。（也就是相当于我们把所求区间分割成了连续的小区间之后求和）

累加的过程同样是在递归中完成的。

int query(int kl,int kr,int l,int r,int x)
{
    if(kl <= l && kr >= r) return tree[x];
    int mid = (l+r) >> 1;
    int sum = 0;
    if(kl <= mid) sum += query(kl,kr,l,mid,x << 1);
    if(kr > mid) sum += query(kl,kr,mid+1,r,x << 1 | 1);
    return sum;    
} //kl为查询左端点，kr为查询右端点，l，r为当前区间作用端点，x为节点编号 

会了这几个操作之后就可以做一道稍微简单一点的练习题了。

C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。
中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人。

 

【输入格式】

 

第一行一个整数T，表示有T组数据。
每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。
接下来每行有一条命令，命令有4种形式：
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30）
(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）;
(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数;
(4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现;
每组数据最多有40000条命令

 

【输出格式】

 

对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车,
对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。

 

 这道题为了方便我把字符串都改成了数字。

操作就三个，建树，单点修改，区间查询，上面三个操作正好够用。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar(‘\n‘)

using namespace std;
const int M = 1000005;
typedef long long ll;

int tree[M*4],k = 1,c,t,n,p,q,num;
int read()
{
    int ans = 0,op = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘)
    {
        if(ch == ‘-‘) op = -1;
        ch = getchar();
    }
    while(ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘)
    {
        ans *= 10;
        ans += ch - ‘0‘;
        ch = getchar();
    }
    return ans * op;
}
void build(int l,int r,int x)//递归建树，到叶节点输入，之后递归返回修改 
{
    if(l == r)    
    {
        tree[x] = read();
        return;
    }
    int mid = (l+r) >> 1;
    build(l,mid,x << 1);
    build(mid+1,r,x << 1 | 1);
    tree[x] = tree[x << 1] + tree[x << 1 | 1];
} 
void update(int k,int val,int l,int r,int x)//单点修改 
{
    if(l == r)
    {
        tree[x] += val;
        return;
    }
    int mid = (l+r) >> 1;
    if(k <= mid) update(k,val,l,mid,x << 1);
    else update(k,val,mid+1,r,x << 1 | 1);
    tree[x] = tree[x << 1] + tree[x << 1 | 1];
}//k为要修改的节点编号，val为修改值，l，r为左右区间
int query(int kl,int kr,int l,int r,int x)
{
    if(kl <= l && kr >= r) return tree[x];
    int mid = (l+r) >> 1;
    int sum = 0;
    if(kl <= mid) sum += query(kl,kr,l,mid,x << 1);
    if(kr > mid) sum += query(kl,kr,mid+1,r,x << 1 | 1);
    return sum;    
} //kl为查询左端点，kr为查询右端点，l，r为当前区间作用端点，x为节点编号 
int main()
{
    t = read();
    while(t--)
    {
        n = read();
        build(1,n,1);
        c = read();
        rep(i,1,c)
        {
            num = read();
            if(num == 4) break;
            p = read(),q = read();
            if(num == 1) update(p,q,1,n,1);        
            if(num == 2) update(p,-q,1,n,1);
            if(num == 3) printf("%d\n",query(p,q,1,n,1));
        }
    }
    return 0;
}
/*
1
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7
3 1 3
1 3 6
3 2 7
2 10 2
1 6 3
3 3 10
4
*/