CS 231n 学习笔记 03——课程3.1 损失函数

Posted 2020-11-02 CaptainL

损失函数（Loss Function）是一类广义的称呼，指利用数值化的方法表现机器学习算法中产生的模型对于训练集（Training Set）的满意程度。

通常函数值越小，表示该模型预测越精准。

损失函数是一个评判标准，模型的优化训练皆是基于此标准进行，训练模型的目的就是找到一个损失函数最小的模型。

 

如同CIFAR10，通常数据集都以上述模式给出：

x是数据集的数组，y是和x对应的每个数据的标签的数组

一般地，损失函数可写作下式：

i代表了每个数据，L_i即是对于每个训练数据进行预测时得到的损失函数值，最终对N个数据的损失值进行平均。

式中f（x_i,W）的f是预测函数，W即为使用的模型。

　　　　

　　如上为某数据集（3个数据，3个标签），矩阵为3张图片在W模型下得到的关于3个类别下的评分（分高为优）

　　可见，第一张图片（猫），第二张（汽车），第三张（青蛙）都是在汽车标签得分最高。

下面列举几种常见的损失函数思路：

　　1. SVM损失（Hinge Loss）

　　使用SVM的思想，即寻找最合适的分界面。只是在这里是运用的SVM多分类而不是二分类。

　　此时L_i的计算公式为：

　　

　　公式解释：s_y_i表示i图对应的正确标签在W下的得分，s_j表示所有不是正确标签的得分，1是一个超参数（可以自己更改选择），表示正确预测分需要超过不正确的预测某一个margin才能保证此次预测的正确性。

　　如第一张图（猫）正确标签是猫（记为图1），所以s_y_1=3.2，L_1=max（0，5.1-3.2+1）+max（0，-1.7-3.2+1）=2.9+0=2.9

　　汽车项取到2.9是因为该图片的汽车得分比猫得分高，并且加上一个安全值1，其和表示对于汽车标签的损失。青蛙项取0是因为猫的分数3.2比青蛙的分数-1.7高出超过安全值（1），预测值对于青蛙标签没有损失。

　　同理L_2=max（1.3-4.9+1）+max（2.0-4.9+1）=0，损失为0因为汽车的预测正确且分数皆比其他标签分数高出超过一分。

　　L_3=max（2.2-（-3.1）+1）+max（2.5-（-3.1）+1）=12.9

　　所以该模型的平均损失L=（2.9+0+12.9）/3=5.27

　　在python中使用该算法时，可用如下的向量化计算方法：

　　

　　输入x是x_i即一张图片的向量表示，y是y_i即正确标签

　　W.dot(x)表示是线性分类器的矩阵点乘，W是分类器模型

　　margins[y]是一个小技巧，将正确标签下的损失值（一定等于1）归零，表示j≠y_i的条件。

　　调用一次L_i_vectorized即是求一个数据对象的损失值。

 

正则化

有时我们希望模型的复杂度、阶数不要太高避免出现过拟合现象，此时在L的计算式中引入一项，称为正则项

正则化后的损失函数公式如下。

R（W）表示不同阶数的模型W在损失函数中的代价，一般W的阶数越高，R（W）值越大，即损失越大。

其思想是：若要采用阶数更高的模型W2，那么它必须克服其相对于更低阶模型W1所增加的代价λ*（R（W2）-R（W1）），λ是一个自选常数参量（超参数）

对于线性分类器W，正则函数常有以下几种形式：

 

　　2.Softmax 分类器（Cross-Entropy Loss）

 

　　Softmax分类：一般化的逻辑斯蒂回归

 

　　

 

　　假设这些分数都是未标准化的对数概率 
　　这一列表示真实图片为猫，然后判断为这三类的分数分别为3.2、5.1、-1.7。 
　　求图片为某一类的概率： 
　　使正确分类的概率的对数最大，根据损失函数，我们要使负的正确分类概率的对数最小，所以概率对数是分数的扩展。 
　　

 

　　

 

　　问：上面这个Loss的最大值、最小值？ 
　　答：看log函数就能看出来，为1的时候最小为0，为0的时候最大为无穷大。

 

　　问：刚开始训练的时候，W很小，那么损失值是多少呢？ 
　　答：是类别数分之一的对数负值，可用于检查代码

 

Hinge Loss VS Cross-Entropy Loss

Hinge Loss 在正确类别的得分比错误类别得分高1之后就不进行优化了，因为此时的损失函数不会再减小了。

与之相对的是Cross-Entropy Loss，根据定义，想要得到理想的概率分布，势必要让正确类别的得分趋近于正无穷，错误类别的得分趋近于负无穷，所以模型会不断的优化参数，试图去迫近这个最理想的概率分布。