5312: 冒险 线段树 复杂度分析

Posted 2020-11-02 Cmd2001

不符合直觉的复杂度证明

国际惯例的题面:

一看到这种维护序列的题，数据范围分块过不去，显然线段树了。
考虑位运算的性质，and相当于钦定一些位必须是0，or相当于钦定一些位必须是1，这都是一些区间赋值操作。
然而我们不可以按位确定，为什么？因为当你确定了最高位之后，你需要在满足高位的情况下求出低位，这相当于是一个取子集操作，单层的树是不可做的。(树套树20层？恭喜你不如n^2暴力了)
于是去ORZ了英文题解，发现他是这样分析的:
我们对每一个位上的操作把数分成两类，有影响的和无影响的。因为操作对这两种数不同，所以我们不能直接维护。
但是，显然在一个操作之后，两种不同的数会被变得相同！
于是，当我们操作到某一个区间，如果这个操作对区间内的所有数并不是全部相同，那么我们递归下去做(也就是访问多余节点)。因为操作后两边这些位的数会变得相同，而变相同的次数有限，所以复杂度是正确的。(表示原文一堆势能分析不明觉厉)
然后就是怎么判断操作对某个区间是否相同的问题了。我们维护区间的and和和or和，显然两者的xor和就是这个区间存在不同的位。如果这些存在不同的位与本次操作会被钦定的位and起来不为0的话，就说明这次操作对这个区间的所有数并非完全相同，需要递归下去做。
另外，这题略卡常......
代码:

 1 #pragma GCC optimize(2)
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cctype>
 5 const unsigned maxn=2e5+1e2,maxe=(maxn<<2)+5;
 6 const unsigned full = ( 1 << 21 ) - 1;
 7 
 8 unsigned in[maxn];
 9 struct SegmentTree {
10     unsigned andsu[maxe],orsu[maxe],lazyand[maxe],lazyor[maxe],mx[maxe];
11     #define lson(pos) (pos<<1)
12     #define rson(pos) (pos<<1|1)
13     inline void upgrade(unsigned pos) {
14         andsu[pos] = andsu[lson(pos)] & andsu[rson(pos)] , orsu[pos] = orsu[lson(pos)] | orsu[rson(pos)] , mx[pos] = std::max( mx[lson(pos)] , mx[rson(pos)] );
15     }
16     inline void build(unsigned pos,unsigned ll,unsigned rr) {
17         lazyand[pos] = full;
18         if( ll == rr ) return void( andsu[pos] = orsu[pos] = mx[pos] = in[ll] );
19         const unsigned mid = ( ll + rr ) >> 1;
20         build(lson(pos),ll,mid) , build(rson(pos),mid+1,rr) , upgrade(pos);
21     }
22     inline void apply(unsigned pos,const unsigned &x,const unsigned &tpe) { // tpe = 1 means and , tpe = 2 means or .
23         if( tpe == 1 ) andsu[pos] &= x , orsu[pos] &= x , lazyand[pos] &= x , lazyor[pos] &= x , mx[pos] &= x;
24         else if( tpe == 2 ) andsu[pos] |= x , orsu[pos] |= x , lazyor[pos] |= x , mx[pos] |= x;
25     }
26     inline void push(unsigned pos) {
27         if( lazyand[pos] != full ) apply(lson(pos),lazyand[pos],1) , apply(rson(pos),lazyand[pos],1) , lazyand[pos] = full;
28         if( lazyor ) apply(lson(pos),lazyor[pos],2) , apply(rson(pos),lazyor[pos],2) , lazyor[pos] = 0;
29     }
30     inline bool allsame(unsigned pos,const unsigned &x,const unsigned &tpe) {
31         unsigned dif = andsu[pos] ^ orsu[pos] , ref = ( tpe == 1 ? 0 : full ) ^ x;
32         return ! ( dif & ref );
33     }
34     inline void update(unsigned pos,unsigned l,unsigned r,const unsigned &ll,const unsigned &rr,const unsigned &x,const unsigned &tpe) {
35         if( ll <= l && r <= rr && allsame(pos,x,tpe) ) return apply(pos,x,tpe);
36         push(pos); const unsigned mid = ( l + r ) >> 1;
37         if( rr <= mid ) update(lson(pos),l,mid,ll,rr,x,tpe);
38         else if( ll > mid ) update(rson(pos),mid+1,r,ll,rr,x,tpe);
39         else update(lson(pos),l,mid,ll,rr,x,tpe) , update(rson(pos),mid+1,r,ll,rr,x,tpe);
40         upgrade(pos);
41     }
42     inline unsigned query(unsigned pos,unsigned l,unsigned r,const unsigned &ll,const unsigned &rr) {
43         if( ll <= l && r <= rr ) return mx[pos];
44         push(pos); const unsigned mid = ( l + r ) >> 1;
45         if( rr <= mid ) return query(lson(pos),l,mid,ll,rr);
46         else if( ll > mid ) return query(rson(pos),mid+1,r,ll,rr);
47         return std::max( query(lson(pos),l,mid,ll,rr) , query(rson(pos),mid+1,r,ll,rr) );
48     }
49 }sgt;
50 
51 inline char nextchar() {
52     static const unsigned BS = 1 << 22;
53     static unsigned char buf[BS],*st=buf+BS,*ed=st;
54     if( st == ed ) ed = buf + fread(st=buf,1,BS,stdin);
55     return st == ed ? -1 : *st++;
56 }
57 inline unsigned getint() {
58     unsigned ret = 0 , ch;
59     while( !isdigit(ch=nextchar()) );
60     do ret=ret*10+ch-\'0\'; while( isdigit(ch=nextchar()) );
61     return ret;
62 }
63 
64 int main() {
65     static unsigned n,m;
66     n = getint() , m = getint(); for(unsigned i=1;i<=n;in[i++]=getint());
67     sgt.build(1,1,n);
68     for(unsigned i=1,o,l,r,x;i<=m;i++) o = getint() , l = getint() , r = getint() , o == 3 ? printf("%d\\n",sgt.query(1,1,n,l,r)) : x = getint() , sgt.update(1,1,n,l,r,x,o);
69     return 0;
70 }

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はらり はらり さやかな白よ
飘零的 飞散的 明亮的白色啊
夢の 終わる その場所で
在这里 梦的终结之所
淡く 流れ わたしの恋を
淡淡地 流淌的 我的爱恋
こころ ふかく そめてゆく
深深地 染进心中