普通平衡树——非旋转treap

Posted 2020-11-02 JhinLZH

题目：

此为平衡树系列第一道：普通平衡树您需要写一种数据结构，来维护一些数，其中需要提供以下操作：
1. 插入x数
2. 删除x数(若有多个相同的数，因只删除一个)
3. 查询x数的排名(若有多个相同的数，因输出最小的排名)
4. 查询排名为x的数
5. 求x的前驱(前驱定义为小于x，且最大的数)
6. 求x的后继(后继定义为大于x，且最小的数)

n<=100000 所有数字均在-107到107内。

输入样例：

10
1 106465
4 1
1 317721
1 460929
1 644985
1 84185
1 89851
6 81968
1 492737
5 493598

输出样例：

106465
84185
492737

变量声明：size[x]，以x为根节点的子树大小；ls[x]，x的左儿子；rs[x]，x的右子树；r[x]，x节点的随机数；v[x]，x节点的权值。

root，树的总根；tot，树的大小。

非旋转treap不同于旋转treap需要靠旋转来维护平衡树的性质，他的操作可以用简单暴力来形容——只有合并和断裂两个操作。他不但有treap的优良性质，还有许多优点：支持可持久化和区间操作，常数比splay小。

下面介绍一下非旋转treap的这两个操作：

1.断裂

就是去掉一条边，把treap拆分成两棵树，对于区间操作可以进行两次断裂来分割出一段区间再进行操作。

以查找value为例，从root往下走，如果v[x]>value，那么下一步走ls[x]，之后的点都比x小，把x接到右树上，下一次再接到右树上的点就是x的左儿子。

v[x]<=value与上述类似，在这里不加赘述。

 1 void split(int x,int &lroot,int &rroot,int val)
 2 {
 3     if(!x)
 4     {
 5         lroot=rroot=0;
 6         return ;
 7     }
 8     if(v[x]<=val)
 9     {
10         lroot=x;
11         split(rs[x],rs[lroot],rroot,val);
12     }
13     else
14     {
15         rroot=x;
16         split(ls[x],lroot,ls[rroot],val);
17     }
18     up(x);
19 }

2.合并

就是把断裂开的树合并起来，因为要维护堆的性质所以按可并堆来合并。

 1 void merge(int &x,int a,int b)
 2 {
 3     if(!a||!b)
 4     {
 5         x=a+b;
 6         return ;
 7     }
 8     if(r[a]<r[b])
 9     {
10         x=a;
11         merge(rs[x],rs[a],b);
12     }
13     else
14     {
15         x=b;
16         merge(ls[x],a,ls[b]);
17     }
18     up(x);
19 }

为了方便删除，所以建议把相同权值的点分开来加入树中，不要都放在同一个点。

非旋转treap代码比较短（为了清晰我写的比较长qwq），但唯一的缺点就是难理解。

  1 #include<cstdio>
  2 #include<cstring>
  3 #include<algorithm>
  4 #include<cmath>
  5 #include<iostream>
  6 using namespace std;
  7 int INF=1000000000;
  8 int n;
  9 int opt,x;
 10 int r[100010];
 11 int ls[100010];
 12 int rs[100010];
 13 int size[100010];
 14 int v[100010];
 15 int root;
 16 int tot;
 17 void up(int x)
 18 {
 19     size[x]=size[ls[x]]+size[rs[x]]+1;
 20 }
 21 void build(int &x,int val)
 22 {
 23     tot++;
 24     size[tot]=1;
 25     r[tot]=rand();
 26     v[tot]=val;
 27     ls[tot]=rs[tot]=0;
 28     x=tot;
 29 }
 30 void merge(int &x,int a,int b)
 31 {
 32     if(!a||!b)
 33     {
 34         x=a+b;
 35         return ;
 36     }
 37     if(r[a]<r[b])
 38     {
 39         x=a;
 40         merge(rs[x],rs[a],b);
 41     }
 42     else
 43     {
 44         x=b;
 45         merge(ls[x],a,ls[b]);
 46     }
 47     up(x);
 48 }
 49 void split(int x,int &lroot,int &rroot,int val)
 50 {
 51     if(!x)
 52     {
 53         lroot=rroot=0;
 54         return ;
 55     }
 56     if(v[x]<=val)
 57     {
 58         lroot=x;
 59         split(rs[x],rs[lroot],rroot,val);
 60     }
 61     else
 62     {
 63         rroot=x;
 64         split(ls[x],lroot,ls[rroot],val);
 65     }
 66     up(x);
 67 }
 68 void insert_sum(int val)
 69 {
 70     int x=0;
 71     int y=0;
 72     int z=0;
 73     build(z,val);
 74     split(root,x,y,val);
 75     merge(x,x,z);
 76     merge(root,x,y);
 77 }
 78 void delete_sum(int val)
 79 {
 80     int x=0;
 81     int y=0;
 82     int z=0;
 83     split(root,x,y,val);
 84     split(x,x,z,val-1);
 85     merge(z,ls[z],rs[z]);
 86     merge(x,x,z);
 87     merge(root,x,y);
 88 }
 89 void ask_rank(int val)
 90 {
 91     int x=0;
 92     int y=0;
 93     split(root,x,y,val-1);
 94     printf("%d\n",size[x]+1);
 95     merge(root,x,y);
 96 }
 97 void ask_sum(int x,int num)
 98 {
 99     while(size[ls[x]]+1!=num)
100     {
101         if(num<=size[ls[x]])
102         {
103             x=ls[x];
104         }
105         else
106         {
107             num-=(size[ls[x]]+1);
108             x=rs[x];
109         }
110     }
111     printf("%d\n",v[x]);
112 }
113 void ask_front(int val)
114 {
115     int x=0;
116     int y=0;
117     split(root,x,y,val-1);
118     ask_sum(x,size[x]);
119     merge(root,x,y);
120 }
121 void ask_back(int val)
122 {
123     int x=0;
124     int y=0;
125     split(root,x,y,val);
126     ask_sum(y,1);
127     merge(root,x,y);
128 }
129 int main()
130 {
131     srand(16);
132     scanf("%d",&n);
133     for(int i=1;i<=n;i++)
134     {
135         scanf("%d%d",&opt,&x);
136         if(opt==1)
137         {
138             insert_sum(x);
139         }
140         else if(opt==2)
141         {
142             delete_sum(x);
143         }
144         else if(opt==3)
145         {
146             ask_rank(x);
147         }
148         else if(opt==4)
149         {
150             ask_sum(root,x);
151         }
152         else if(opt==5)
153         {
154             ask_front(x);
155         }
156         else if(opt==6)
157         {
158             ask_back(x);
159         }
160     }
161     return 0;
162 }