模板三分法

Posted 2020-11-02 ztz11

三分模板，求极值

题目描述

如题，给出一个N次函数，保证在范围[l,r]内存在一点x，使得[l,x]上单调增，[x,r]上单调减。试求出x的值。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行一次包含一个正整数N和两个实数l、r，含义如题目描述所示。

第二行包含N+1个实数，从高到低依次表示该N次函数各项的系数。

 

输出格式：

 

输出为一行，包含一个实数，即为x的值。四舍五入保留5位小数。

说明

时空限制：50ms,128M

数据规模：

对于100%的数据：7<=N<=13

思路：

这是一道三分的模板题，在这里我讲一下三分

三分是什么？？：

三分是一种优化的暴力，从他的名字就可以知道，这是一种很类似于二分的方法，通过一系列操作时复杂度由O（n）降到O（logn）

三分能干什么？

求单峰多次函数最值位置（近似值）

如何实现三分？（这个是重点）

我们先看一幅图（picture by luogu）

 

 现在我们的已知条件有峰所在的区间和函数表达式，这就很好办

首先我们取区间中点

然后取离中点很近的两个点（距离必须小于等于要求精度），并求出它们的函数值

这时候通过判断函数值的大小就可以知道此处是递增还是递减

如果递增，那点就在左区间，峰在其右，区间左端点就变成区间中点

反之亦然

一直缩小区间大小

到满足精度时，答案就呼之欲出

一点小优化：

高中的同学应该都知道有个东西叫秦九韶算法

它可以将a0+a1*x^1+a2*x^2……an^xn这个高复杂度的东西

优化为an（x+an-1（x……a1（x+a0）））这个线性的式子

复杂度下降了一个log

很好使

见代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define rii register int i
using namespace std;
int n;
double xs[15],l,r,final,mid;
double eps=0.000001;
double dxs(double z)
{
	double ans=0;
	for(rii=n;i>=0;i--)
	{
		ans=ans*z+xs[i];
	}
	return ans; 
}
int main()
{
	cin>>n>>l>>r;
	for(rii=n;i>=0;i--)
	{
		cin>>xs[i];
	}
	eps=0.000001;
	while(1)
	{
		if(fabs(r-l)<eps)
		{
			final=r;
			break;
		}
		mid=(l+r)/2;
		if(dxs(mid+eps)>dxs(mid-eps))
		{
			l=mid;
		}
		else
		{
			r=mid;
		}
	}
	printf("%.5lf",final);
}