饥饿的小易（规律，同余大数）

Posted 2020-11-02 千彧

题目描述

小易总是感觉饥饿，所以作为章鱼的小易经常出去寻找贝壳吃。最开始小易在一个初始位置x_0。对于小易所处的当前位置x，他只能通过神秘的力量移动到 4 * x + 3或者8 * x + 7。因为使用神秘力量要耗费太多体力，所以它只能使用神秘力量最多100,000次。贝壳总生长在能被1,000,000,007整除的位置(比如：位置0，位置1,000,000,007，位置2,000,000,014等)。小易需要你帮忙计算最少需要使用多少次神秘力量就能吃到贝壳。

输入描述:

输入一个初始位置x_0,范围在1到1,000,000,006

输出描述:

输出小易最少需要使用神秘力量的次数，如果使用次数使用完还没找到贝壳，则输出-1

示例1

输入

125000000

输出

1

 1 import java.util.Scanner;
 2 
 3 /**
 4  * 饥饿的小易 
 5  * 1、分析
 6  *      4x+3 
 7  *         8x+7 
 8  *      4(4x+3)+3 = 16x+15
 9  *       4(8x+7)+3 = 8(4x+3)+7 =32x+31 =32(x+1)-1 
10  *      每次 变换 得到的数 都是 
11  *      我们设 2^n 为 times,也有times(x+1)-1,a=2^n * x +(2^n)-1
12  *      循环检查 a%N 是否为0 判断 
13  * 2、最多使用 100000 次魔法 最多情况下就是都使用 8x+7,
14  *   而此时我们是使用2来循环 ,2^3 = 8 那么我们就需要循环 300000次 
15  *   但是，无论是 int 还是 long 都无法表示那么大的数，所以我们需要做同余处理来进行替换
16  *  
17  *  同余：
18          如果 a%m =b%m 那么我们就说 ab关于模m同余 ，记作 a≡b(mod m) 
19          不难理解 b = a%m 有 a≡b(mod m) 
20          那么： 
21          设 a 、b 对于 m 的余数 都为 mod,可以这样表示： 
22         a = c1*m + mod 
23         b = c2*m + mod(a1、a2为不同的整数) 
24         a(x+1)-1 = (c1*m + mod)*(x+1)-1 = c1*m*(x+1) + mod*(x+1)-1 
25         b(x+1)-1 = (c2*m + mod)*(x+1)-1 = c2*m*(x+1) + mod*(x+1)-1 
26         c1*m*(x+1)、 c2*m*(x+1) 都是可以被 m整除 
27         所以 a(x+1)-1 b(x+1)-1 对于 m 的余数 都为(mod*(x+1)-1)%m 
28          也就是说 a≡b(mod m) ,ab做相同的加减乘除变换之后,对于m同余仍然成立 
29          
30      因此我们可以使用 times=times%N 来求 times对于N的同余数 ，前后 (times*(x+1)-1)%N 值不变可以做替换
31  * 
32  * 
33  * 
34  * 4x+3 等于两次 2x+1 8x+7 等于 三次 2x+1
35  * 
36  * @author Dell
37  *
38  */
39 public class Main {
40     static public long x = 125000000;
41     static public long N = 1000000007;
42     static public long count = -1;
43     static public long times = 4;  //第一次最小为4
44     static public void f() {
45         for (int i = 1; i <=300000; i++) {
46             long mod = (times*(x+1)-1)%N;
47             if (mod == 0) {
48                 // 取值 尽可能多取8来减小步数， 所以除以3
49                 // times从4 开始  就是  2^2 而 i 从1开始必须加1
50                 count=(i+1)/3 + ((i+1)%3==0?0:1);
51                 return;
52             }
53             // 求下一个 times 并做替换
54             times = (times*2)%N;
55         }
56     }
57     public static void main(String[] args) {
58         Scanner sc = new Scanner(System.in);
59         x = sc.nextLong();
60         f();
61         System.out.println(count);
62     }
63 }