偏度和峰度的计算

Posted 2020-11-02 小舔哥

偏度(skewness)和峰度(kurtosis)：

  偏度能够反应分布的对称情况，右偏（也叫正偏），在图像上表现为数据右边脱了一个长长的尾巴，这时大多数值分布在左侧，有一小部分值分布在右侧。

  峰度反应的是图像的尖锐程度：峰度越大，表现在图像上面是中心点越尖锐。在相同方差的情况下，中间一大部分的值方差都很小，为了达到和正太分布方差相同的目的，必须有一些值离中心点越远，所以这就是所说的“厚尾”，反应的是异常点增多这一现象。

 

偏度的定义：

样本X的偏度为样本的三阶标准矩

其中$\\mu$是均值，$\\delta$为标准差，E是均值操作。$\\mu_3$是三阶中心距，$\\kappa_t $是$t^{th}$累积量

 

偏度可以由三阶原点矩来进行表示：

 

样本偏度的计算方法：

一个容量为n的数据，一个典型的偏度计算方法如下：

其中$\\bar x$为样本的均值（和$\\mu$的区别是，$\\mu$是整体的均值，$\\bar x$为样本的均值）。s是样本的标准差，$m_3$是样本的3阶中心距。

另外一种定义如下：

$k_3$是三阶累积量$\\kappa_3$的唯一对称无偏估计(unique symmetric unbiased estimator)（$k_3$ 和 $\\kappa_3$写法不一样）。$k_2=s^2$是二阶累积量的对称无偏估计。

大多数软件当中使用$G_1$来计算skew，如Excel，Minitab，SAS和SPSS。

 

峰度的定义：

  峰度定义为四阶标准矩，可以看出来和上面偏度的定义非常的像，只不过前者是三阶的。

 

样本的峰度计算方法：

 

样本的峰度还可以这样计算：

 

其中$k_4$是四阶累积量的唯一对称无偏估计，$k_2$是二阶累积量的无偏估计（等同于样本方差），$m_4$是样本四阶平均距，$m_2$是样本二阶平均距。

同样，大多数程序都是采用$G_2$来计算峰度。

 

python使用pandas来计算偏度和峰度

import pandas as pd
x = [53, 61, 49, 66, 78, 47]
s = pd.Series(x)
print(s.skew())
print(s.kurt())

它是用上面的$G_1$来计算偏度  $G_2$来计算峰度，结果如下：

0.7826325504212567
-0.2631655441038463

 

参考：

    偏度和峰度如何影响您的分布

    Skewness 维基百科给出了偏差的计算公式

   Kurtosis  维基百科给出峰度的计算公式