推荐系统 - FMs

Posted 2020-11-02 viredery

Factorization Machines

1. 论文提出了 Factorization Machine （因子分解机模型）来解决稀疏数据问题。并与支持向量机和矩阵分解算法（如SVD++）进行对比。

   FM模型在稀疏数据下可以同时训练一次项参数和二次项参数。设输入向量 \(\mathbf{x} = (x_0, x_1, ..., x_n)\)，则

   \[\widehat{y}(\mathbf{x}) := \omega_0 + \sum_{i=1}^{n} \omega_i x_i + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n} \left \langle\mathbf{v_i}, \mathbf{v_j} \right \rangle x_i x_j\]

   其中，\(\omega_0\) 是偏置，\(\omega_i\) 是特征的一次项参数，共有 \(n\) 个。\(\mathbf{v_i}\) 是长度为 \(k\) （超参数）的向量。二次项参数 \(\widehat{\omega}_{i,j}\) 是 \(\mathbf{v_i}\) 和 \(\mathbf{v_j}\) 的内积，因此二次项参数共有 \(k \cdot n\) 个。总的参数为 \(1 + n + k \cdot n\)

   此外，\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n} \left \langle\mathbf{v_i}, \mathbf{v_j} \right \rangle x_i x_j\) 的计算可以推导为

   \[\frac{1}{2} \sum_{f=1}^{k}((\sum_{i=1}^{n} v_{i,f} x_i)^2 - \sum_{i=1}^{n} v_{i,f}^2 x_i^2)\]

   因此，对一个样本进行一次预测的时间复杂度为 \(O(nk)\)。

   • FM模型可以加入正则项，如L2正则；也可以扩展为 d-way FM。每增加一维的交叉特征，就会增加 \(k_d \cdot n\) 个参数，计算的时间复杂度也会乘以 \(O(n)\)。

   • FM模型可以应用在一系列的预测问题中，比如回归问题，二分类问题和排序问题。二分类问题中可以选择 Hinge Loss 或者 Log Loss 作为损失函数。

2. 关于超参数k

   超参数 k 越大，模型的假设空间越大，表达能力越强；超参数 k 越小，模型的泛化效果越强。

   可以把所有的二次项系数 \(\widehat{\omega}_{i,j}\) 看做是一个 N x N 的实对称矩阵 W（对角线元素可以看做是 \(\mathbf{v_i}\) 的 L2 范数，则均为非负数）。那么，当 k 足够大时，$ W = V^T \cdot V$。但是，在稀疏问题下，由于没有足够的样本来估计复杂的交叉特征矩阵 W，因此 k 取较小值，提高模型的泛化能力。

3. 对于稀疏问题，Logistic Regression 学习每一个特征对于问题影响程度的“权重”，在推断时仅考虑数值不为0的特征，计算效率高，但无法学习到交叉特征（interactions between two features）对问题的影响。运用核技巧的对偶形式的 SVM 可以将交叉特征的影响引入到模型中。此时，支持向量定义SVM模型，确定了支持向量后，可以忽略其他数据以及所有支持向量中没有出现过的特征，同时适合处理稀疏问题。

   但 SVM 有几个缺点。

   1. 模型中需要存储支持向量，尽管支持向量仅在所有数据集中占有一小部分。

   2. SVM 学习稀疏特征的超平面参数（即引入非线性核函数）的能力不强。如果在训练集中某两个特征从来同时同时出现过，则SVM无法很好地估计其参数。

   3. 对偶形式的 SVM 的参数与训练数据的数量有关，而推荐系统中的数据量很大。

   Matrix Factorization 即矩阵分解方法（如SVD++）也有几个缺点。

   1. 只适合稀疏的类别特征矩阵，不适合处理标准的数值特征。

   2. 对于每一个特定的任务都需要单独地推导实现（derived individually for a specific task）

   FM的训练和预测的时间复杂度是线性的，可以在非常稀疏的数据集下实现参数的估计。对模型的存储过程中，只需要存储参数，不需要像 SVM 一样存储训练数据。同时，其输入即可以是类别特征，也可以是数值特征。在稀疏特征中，即使存在某个交叉特征在训练集中从来没有出现，但仍然可以通过对应的两个特征的 latent variables 的内积来估计其参数。

Field-aware Factorization Machines for CTR Prediction

1. 在 FM 模型中，引入了 Field 的概念。即 FFM 把相同性质的特征归类为同一个 Field。比如，对于一个类别特征，经过独热编码后变为 m 维特征，其中只有一维值为1，剩下 m-1 维的值为0。这 m 维特征属于同一个 Field。对于一个数值特征，可以归一化后不做处理，也可以现将连续的数值离散化后再做独热处理。处理过后的特征（要么使用前者得到1维特征，要么使用后者得到m维特征）属于同一个 Field。

   假设模型一定有 n 维特征，f 个 Field，latent variables 的长度为 k （超参数），那么其二次项参数共有 $ n \cdot f \cdot k$ 个，计算的时间复杂度为 $O(n^2 k) $。由于一个特征对应的 latent variable 只需要学习某个 Field 的特征对该特征的影响，因此 \(k_{FFM} << k_{FM}\)。如果数据中只有 1 个 Field，那么 FFM 模型退化为 FM。

   \[\widehat{y}(\mathbf{x}) := \omega_0 + \sum_{i=1}^{n} \omega_i x_i + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n} \left \langle\mathbf{\omega}_{i, f_j}, \mathbf{\omega}_{j, f_i} \right \rangle x_i x_j\]

2. FFM的实现

   \[\min_{\mathbf{\omega}} \frac{\lambda}{2}||\omega||_2^2 + \sum_{i=1}^{m} log(1+exp(-y_i \phi_{FFM}(\mathbf{\omega}, \mathbf{x_i})))\]

   默认使用 AdaGrad 方法进行训练优化。

   根据经验，对于每一个实例，对其标准化可以使得预测精度轻微地提升，对参数的敏感性降低。

DeepFM: A Factorization-Machine based Neural Network for CTR Prediction