第二类斯特林数

Posted 2020-11-02 Mychael

第二类斯特林数

第二类斯特林数，记为\(\begin{Bmatrix} n \\ m \end{Bmatrix}\)或\(S(n,m)\)，表示将\(n\)个元素划分到\(m\)个非空无序集合的方案数

计算式

计算式有两种，递推式和通项式

--递推式--
第\(n\)个元素有两种选择，自己独立为一个集合，或者加入之前的集合
\[\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} n - 1 \\ k - 1 \end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix} n - 1 \\ k \end{Bmatrix} * k\]

--通项式--
根据容斥：
\[\begin{Bmatrix} n \\ m \end{Bmatrix} = \frac{1}{m!} \sum\limits_{k = 0}^{m} (-1)^{k} {m \choose k} (m - k)^{n}\]
可以用\(NTT\)在\(O(nlogn)\)的时间内计算出所有的关于\(n\)相同的\(\begin{Bmatrix} n \\ m \end{Bmatrix}\)
不过通常会结合其它式子展开化简

性质

接下来不加证明地给出一些性质：
①
\[\begin{Bmatrix} 0 \\ 0 \end{Bmatrix} = 1\]
②
\[\begin{Bmatrix} n \\ 0 \end{Bmatrix} = 0 [ n >０]\]
③
\[\begin{Bmatrix} n \\ n \end{Bmatrix} = 1\]
④
\[\begin{aligned} \begin{Bmatrix} n \\ 2 \end{Bmatrix} &= \begin{Bmatrix} n - 1 \\ 1 \end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix} n - 1 \\ 2 \end{Bmatrix} * 2 \&= 1 + \begin{Bmatrix} n - 1 \\ 2 \end{Bmatrix} * 2 \&= 2^{n - 1} + 1 \end{aligned}\]
⑤
\[\begin{Bmatrix} n \\ n - 1 \end{Bmatrix} = {n \choose 2}\]
⑥
\[\begin{Bmatrix} n \\ n - 2 \end{Bmatrix} = {n \choose 3} + 3 * {n \choose 4}\]