刷题洛谷 P2675 《瞿葩的数字游戏》T3-三角圣地

Posted 2020-11-02 oyiya

题目背景

国王1带大家到了数字王国的中心：三角圣地。

题目描述

不是说三角形是最稳定的图形嘛，数字王国的中心便是由一个倒三角构成。这个倒三角的顶端有一排数字，分别是1 ~ N。1 ~ N可以交换位置。之后的每一行的数字都是上一行相邻两个数字相加得到的。这样下来，最底端就是一个比较大的数字啦！数字王国称这个数字为“基”。国王1希望“基”越大越好，可是每次都自己去做加法太繁琐了，他希望你能帮他通过编程计算出这个数的最大值。但是这个值可能很大，所以请你输出它mod 10007 的结果。

任务：给定N，求三角形1~N的基的最大值 再去 mod 10007。

输入输出格式

输入格式：

一个整数N

输出格式：

一个整数，表示1~N构成的三角形的最大的“基”

输入输出样例

输入样例#1：

4

输出样例#1：

24

输入样例#2：

1125

输出样例#2：

700

说明

数据：

20% 0<=N<=100

50% 0<=N<=3000

100% 0<=N<=1000000

样例解释：

1 3 4 2

4 7 6

11 13

24 是N=4的时候的最大值，当然还有别的构成形式。

PS：它叫做三角圣地，其实它就是个三角形~

本题数据已经更新，目前全部正确无误！

不要面向数据编程！

题解

把三角形画出来之后，发现，数列里一个数在“基”被加的次数就是从它的位置走向底端的方案数
然后，\(ans=C_{n-1}^0a_0+C_{n-1}^1a_1+C_{n-1}^2a_2+...+C_{n-1}^{n-1}a_{n-1}=\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ia_i\)
所以越往中间走，被加的次数就越多，那么贪心地把数列拍好，然后 \(O(n)\) 用Lucas算就好了

#include<bits/stdc++.h>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
#define ull unsigned long long
const int MAXN=1000000+10,Mod=1e4+7;
int n,A[MAXN];
ll res,fac[MAXN],inv[MAXN];
template<typename T> inline void read(T &x)
{
    T data=0,w=1;
    char ch=0;
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
    x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char ch='\0')
{
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
    if(ch!='\0')putchar(ch);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline ll qexp(ll a,ll b)
{
    ll res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)res=res*a%Mod;
        a=a*a%Mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
inline void init()
{
    fac[0]=1;
    for(register int i=1;i<Mod;++i)fac[i]=fac[i-1]*i%Mod;
    inv[Mod-1]=qexp(fac[Mod-1],Mod-2);
    for(register int i=Mod-2;i>=0;--i)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%Mod;
}
inline ll C(ll n,ll m)
{
    if(n<m)return 0;
    if(n<=Mod&&m<=Mod)return fac[n]*inv[m]%Mod*inv[n-m]%Mod;
    else return C(n/Mod,m/Mod)*C(n%Mod,m%Mod)%Mod;
}
int main()
{
    read(n);
    init();
    if(n&1)
    {
        A[(n>>1)+1]=n;A[(n>>1)+2]=n-1;
        for(register int i=(n>>1);i>=1;--i)A[i]=A[i+1]-2;
        for(register int i=(n>>1)+3;i<=n;++i)A[i]=A[i-1]-2;
    }
    else
    {
        A[1]=1;
        for(register int i=2;i<=(n>>1);++i)A[i]=A[i-1]+2;
        A[(n>>1)+1]=n;
        for(register int i=(n>>1)+2;i<=n;++i)A[i]=A[i-1]-2;
    }
    for(register int i=1;i<=n;++i)(res+=C(n-1,i-1)*A[i]%Mod)%=Mod;
    write(res,'\n');
    return 0;
}