2016"百度之星" - 初赛（Astar Round2A）All X(数学 矩阵)

Posted 2020-07-10

All X

 

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Problem Description

F(x, m)F(x,m) 代表一个全是由数字xx组成的mm位数字。请计算，以下式子是否成立：

F(x,m)\\ mod\\ k\\ \\equiv \\ cF(x,m) mod k ≡ c

Input

第一行一个整数TT，表示TT组数据。 每组测试数据占一行，包含四个数字x,m,k,cx,m,k,c

1\\leq x\\leq 91≤x≤9

1\\leq m\\leq 10^{10}1≤m≤10​10​​

0\\leq c< k\\leq 10,0000≤c<k≤10,000

Output

对于每组数据，输出两行： 第一行输出："Case #i:"。ii代表第ii组测试数据。 第二行输出“Yes” 或者 “No”，代表四个数字，是否能够满足题目中给的公式。

Sample Input

3
1 3 5 2
1 3 5 1
3 5 99 69

Sample Output

Case #1:
No
Case #2:
Yes
Case #3:
Yes

Hint

对于第一组测试数据：111 mod 5 = 1，公式不成立，所以答案是”No”，而第二组测试数据中满足如上公式，所以答案是 “Yes”。

 

思路：这题可以用矩阵快速幂，可推同模公式，貌似还有求循环节什么的，我用的是第二种。如下：

 

m个x模k为c，则 x *(10 ^ m - 1)/ 9  %k = c

则x *(10 ^ m - 1)  % (9 * k) = 9*c %(9 * k)

 

用矩阵的话用此矩阵快速幂(赛后学的)

 

代码如下：

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL PowMod(LL a,LL b,LL MOD){
    LL ret=1;
    while(b){
        if(b&1) ret=(ret*a)%MOD;
        a=(a*a)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}

int main(){
    LL x, m , k, c;
    int t;
    cin>>t;
    for(int i = 1; i <= t; i++){
        scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d", &x, &m, &k, &c);
        k *= 9;
        LL a = ((PowMod(10, m, k) + k - 1) % k) * x %k;
        LL b = (9 *c) % k;
        printf("Case #%d:\\n",i);
        if(a == b){
            printf("Yes\\n");
        }else{
            printf("No\\n");
        }
    }
    return 0;
}