题解：bzoj1801: [Ahoi2009]chess 中国象棋

Posted 2020-11-02 nanjoln0

Description

在N行M列的棋盘上，放若干个炮可以是0个，使得没有任何一个炮可以攻击另一个炮。 请问有多少种放置方法，中国像棋中炮的行走方式大家应该很清楚吧.

Input

一行包含两个整数N，M，中间用空格分开.

Output

输出所有的方案数，由于值比较大，输出其mod 9999973

Sample Input

1 3

Sample Output

7

HINT

除了在3个格子中都放满炮的的情况外，其它的都可以.

100%的数据中N,M不超过100
50%的数据中，N,M至少有一个数不超过8
30%的数据中，N,M均不超过6

题解：

这道题状态转移方程真的好烦啊.....

考虑从上到下一行一行的放，那么我们在放第i行时，显然，每一行或每一列，最多放两个炮。所以，在放第i行时，所有的合法放法其实是确定的了

放法1：一个都不放

放法2：仅放一个，放在一个炮的没有列上

放法3：仅放一个，放在有一个炮的列上

放法4：放两个，均放在一个炮都没有的列上

放法5：放两个，均放在有一个炮的列上

放法6：放两个，一个放在有一个炮的列上，另一个放在有一个炮的列上

实际上到这里我们可以发现：在放第i列时，我们并不关心炮的具体位置，因为我们求的是每种放法的方案数，所以，我们需要的信息只是每一种类型的列数的数量，这其实是一种对信息的压缩（一个炮的有多少列，两个炮的有多少列，一个炮都没有的有多少列）

所以，用f[i][j][k]表示放到第i行时，有一个炮的有j列，有两个炮的有k列，则一个炮都没有的就有m-j-k列

然后考虑每种放法的合法方案数，用计数原理和组合数计算即可

状态转移方程如下：

            f[i][j][k]=f[i-1][j][k]%MOD;
            if(j-1>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]%MOD+f[i-1][j-1][k]*(m-j-k+1)%MOD)%MOD;
            if(k-1>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]%MOD+f[i-1][j+1][k-1]*(j+1)%MOD)%MOD;
            if(j-2>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]%MOD+f[i-1][j-2][k]*C(m-k-j+2)%MOD)%MOD;
            if(k-2>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]%MOD+f[i-1][j+2][k-2]*C(j+2)%MOD)%MOD;
            if(k-1>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]%MOD+f[i-1][j][k-1]*j*(m-j-k+1)%MOD)%MOD;

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 101
#define MOD 9999973
using namespace std;
int n,m;
long long ans=0;
long long f[MAXN][MAXN][MAXN];
long long C(int N)
{
    return ((N-1)*N)/2;
}
void DP()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
            for(int k=0;k<=m-j;k++)
                {
                    f[i][j][k]=f[i-1][j][k]%MOD;
                    if(j-1>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]%MOD+f[i-1][j-1][k]*(m-j-k+1)%MOD)%MOD;
                    if(k-1>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]%MOD+f[i-1][j+1][k-1]*(j+1)%MOD)%MOD;
                    if(j-2>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]%MOD+f[i-1][j-2][k]*C(m-k-j+2)%MOD)%MOD;
                    if(k-2>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]%MOD+f[i-1][j+2][k-2]*C(j+2)%MOD)%MOD;
                    if(k-1>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]%MOD+f[i-1][j][k-1]*j*(m-j-k+1)%MOD)%MOD;
                }
}
int main()
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    f[0][0][0]=1;
    DP();
    for(int i=0;i<=m;i++)
        for(int j=0;j<=m-i;j++)
            ans=(ans%MOD+f[n][i][j]%MOD)%MOD;
    printf("%lld",ans);        
    return 0;
}

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