题解:bzoj1801: [Ahoi2009]chess 中国象棋

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了题解:bzoj1801: [Ahoi2009]chess 中国象棋相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

Description

在N行M列的棋盘上,放若干个炮可以是0个,使得没有任何一个炮可以攻击另一个炮。 请问有多少种放置方法,中国像棋中炮的行走方式大家应该很清楚吧.

Input

一行包含两个整数N,M,中间用空格分开.

Output

输出所有的方案数,由于值比较大,输出其mod 9999973

Sample Input

1 3

Sample Output

7

HINT

除了在3个格子中都放满炮的的情况外,其它的都可以.

100%的数据中N,M不超过100
50%的数据中,N,M至少有一个数不超过8
30%的数据中,N,M均不超过6

题解:

这道题状态转移方程真的好烦啊.....

考虑从上到下一行一行的放,那么我们在放第i行时,显然,每一行或每一列,最多放两个炮。所以,在放第i行时,所有的合法放法其实是确定的了

放法1:一个都不放

放法2:仅放一个,放在一个炮的没有列上

放法3:仅放一个,放在有一个炮的列上

放法4:放两个,均放在一个炮都没有的列上

放法5:放两个,均放在有一个炮的列上

放法6:放两个,一个放在有一个炮的列上,另一个放在有一个炮的列上

实际上到这里我们可以发现:在放第i列时,我们并不关心炮的具体位置,因为我们求的是每种放法的方案数,所以,我们需要的信息只是每一种类型的列数的数量,这其实是一种对信息的压缩(一个炮的有多少列,两个炮的有多少列,一个炮都没有的有多少列)

所以,用f[i][j][k]表示放到第i行时,有一个炮的有j列,有两个炮的有k列,则一个炮都没有的就有m-j-k列

然后考虑每种放法的合法方案数,用计数原理和组合数计算即可

状态转移方程如下:

            f[i][j][k]=f[i-1][j][k]%MOD;
            if(j-1>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]%MOD+f[i-1][j-1][k]*(m-j-k+1)%MOD)%MOD;
            if(k-1>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]%MOD+f[i-1][j+1][k-1]*(j+1)%MOD)%MOD;
            if(j-2>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]%MOD+f[i-1][j-2][k]*C(m-k-j+2)%MOD)%MOD;
            if(k-2>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]%MOD+f[i-1][j+2][k-2]*C(j+2)%MOD)%MOD;
            if(k-1>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]%MOD+f[i-1][j][k-1]*j*(m-j-k+1)%MOD)%MOD;

技术分享图片
#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 101
#define MOD 9999973
using namespace std;
int n,m;
long long ans=0;
long long f[MAXN][MAXN][MAXN];
long long C(int N)
{
    return ((N-1)*N)/2;
}
void DP()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
            for(int k=0;k<=m-j;k++)
                {
                    f[i][j][k]=f[i-1][j][k]%MOD;
                    if(j-1>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]%MOD+f[i-1][j-1][k]*(m-j-k+1)%MOD)%MOD;
                    if(k-1>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]%MOD+f[i-1][j+1][k-1]*(j+1)%MOD)%MOD;
                    if(j-2>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]%MOD+f[i-1][j-2][k]*C(m-k-j+2)%MOD)%MOD;
                    if(k-2>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]%MOD+f[i-1][j+2][k-2]*C(j+2)%MOD)%MOD;
                    if(k-1>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]%MOD+f[i-1][j][k-1]*j*(m-j-k+1)%MOD)%MOD;
                }
}
int main()
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    f[0][0][0]=1;
    DP();
    for(int i=0;i<=m;i++)
        for(int j=0;j<=m-i;j++)
            ans=(ans%MOD+f[n][i][j]%MOD)%MOD;
    printf("%lld",ans);        
    return 0;
}
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