宝剑升级问题

Posted 2020-11-01 板弓子

问题在这里：每使用一个宝石，有50%的概率会成功让宝剑升一级，50%的概率会失败。如果宝剑的级数大于等于5的话，那么失败会使得宝剑降1级。如果宝剑的级数小于5的话，失败没有效果。问题是：期望用多少个宝石可以让一把1级的宝剑升到9级？

 

记从i级的宝剑升级到i+1级的宝剑需要的宝石数目为E(i)。由于每个级别的升级可以单独分开看，则E(1) + E(2) + E(3) + ... + E(8)的结果即是所需要的宝石数。

个人觉得解决这个问题需要用到极限的思想和递归的思想。让我们先从1级升2级说起

E(1) = 0.5 * 1(失败0次，成功1次） + 0.5 ^ 2 * 2（失败1次，成功1次）+ 0.5 ^ 3 * 3 （失败2次，成功1次）+ ...                  式（1）

这是单纯考虑1级升级到2级所有可能性的思路，并叠加这些可能性。从这个式子可以判定，E(1)背后的这个数列求和是个收敛的确定值。那么单纯使用一颗宝石升级的情况如何呢？ 

有0.5的概率成功，此时只需一颗宝石；还有0.5的概率失败，此时不会降级，问题仍然是从1级升级到2级，需要的宝石1 + E(1)颗。也就是：

E(1) = 0.5 * 1 + 0.5 * (E(1) + 1)                       式(2)

解这个等式，可以得到E(1) = 2.

注意这里我们用到的逻辑，首先证明E(1)存在且唯一，接着带入单纯一颗宝石的情况，发现这颗宝石升级失败后，所面临的升级问题仍然和最开始的一样。于是就可以从式（2）直接求出E(1)的结果

在类似的情况里，E(2) = E(3) = E(4) = E(1) = 2

到E(5)时，新出现的问题是升级失败后会退回到4级。

仍然考虑所有可能性的思路，

E(5) = 0.5 * 1（失败0次，成功1次） + 0.5 ^ 3 * C(3, 2) * 3 （失败1次，成功2次） + 0.5 ^ 5 * C(5, 3) * 5 （失败2次，成功3次）+ ...                  式（3）

其中C(n, k)是组合数求解公式。直接计算这个表达式是困难的。但我们所知道的是E(5)存在且唯一。

考虑单纯使用一颗宝石升级的情况，有0.5的概率成功，需要宝石为1颗；有0.5的概率失败，这本身会消耗一颗宝石，然后需要从4级升到6级，也就是E(4) + E(5)：

E(5) = 0.5 * 1 + 0.5 * (1 + E(4) + E(5))              式（4）

求解式（4）后有，E(5) = 4.

同理可求得，E(6) = 6, E(7) = 8, E(8) = 10

总共所需宝石数期望为E(1) + E(2) + ... + E(8) = 36颗