二分答案模板

Posted 2020-11-01 努力努力再努力x

【模板+讲解】二分答案

！阅读须知||阅读本博文前笔者认为读者已经学会（或了解）了：
1.基础语言与算法
2.标准二分法（二分思想）
3.二分查找

定义

二分答案与二分查找类似，即对有着单调性的答案进行二分，大多数情况下用于求解满足某种条件下的最大（小）值。

答案单调性

答案的单调性大多数情况下可以转化为一个函数，其单调性证明多种多样，如下：

1. 移动石头的个数越多，答案越大（NOIP2015跳石头）。
2. 前i天的条件一定比前 i + 1 天条件更容易（NOIP2012借教室）。
3. 满足更少分配要求比满足更多的要求更容易（NOIP2010关押罪犯）。
4. 满足更大最大值比满足更小最大值的要求更容易（NOIP2015运输计划）。
5. 时间越长，越容易满足条件（NOIP2012疫情控制）。

可以解决的问题

1. 求最大的最小值（NOIP2015跳石头）。
2. 求最小的最大值（NOIP2010关押罪犯）。
3. 求满足条件下的最小（大）值。
4. 求最靠近一个值的值。
5. 求最小的能满足条件的代价。

代码

为了保证解在二分搜索的区间里，故不同的问题有着不同（但相似）的写法，读者可以画一个区间模拟一下~

求最小值

int binary()
{
    int l = 0, r = ll, mid;
    while(l < r)
      {
        mid = (l + r) >> 1;
        if(check(mid)) r = mid;  //大多数题只要改改check()即可
        else l = mid + 1;
      }
    return l;
}

 

求最大值

int binary()
{
    int l = 0, r = ll, mid;
    while(l < r)
      {
        mid = (l + r + 1) >> 1;
        if(check(mid)) r = mid - 1;
        else l = mid;
      }
    return l;
}

 

面对整数时的万能二分（近似万能）

int binary(int n)
{
    int l = 1, r = maxn, ans = 0;
    while(l <= r)
      {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if(c[mid] > a[n]) ans = mid, l = mid + 1;  //判断条件与ans记录位置因题而异
        else r = mid - 1;
      }
    return ans;
}