luogu2508 [HAOI2008]圆上的整点

Posted 2020-11-01 headboy2002

题目大意

给出$r$，求圆$x^2+y^2=r^2$上坐标均为整数的点数。$n<=2,000,000,000$

总体思路

我们看到这个数据大小，还是个数学题，想到这个的时间复杂度应当为$O(\sqrt{r})$。要达到这个效果，我们先要把$r^2$转化成$r$，然后在$\sqrt{r}$的范围内枚举某个数。对于我们以前的经验，这枚举的“某个数”有：质因数分解、求因数等。这个题目好像跟质数的关系不大！那就是枚举因数喽！
以上的叙述就为我们以后的数学推导提供了目标。推导时，应当思维发散，大胆尝试，多尝试几种方法，最终筛选出以下数学推导得出解决办法的过程。

数学推导

经过移项等操作我们得到：
$$y^2=(r-x)(r+x)$$
我们令$d=\gcd(r+x,r-x)$，$A=\frac{r-x}{d},B=\frac{r+x}{d}$。这时我们发现：
$$A+B=\frac{2r}{d}$$
这样，我们在$\sqrt{2r}$内枚举$d$(同时得到了$d$一个因数和$\frac{2r}{d}$一个因数)，再在$2r/d/2=\frac{r}{d}$内枚举$A$和$B$，看看有多少对$A,B$符合要求。这样我们已经把$r$降次了。
但是我们仍然可以进一步优化。

推论1

对$a,b,c\in Z$，若$a^2=b^{2}c$，则$\sqrt{c}\in Z$.
证明：$c=(\frac{a}{b})^2, b^2|a^2$

推论2

对$a,b,c\in Z$，若$a^2=bc$，且$\gcd(b,c)=1$，则$\sqrt{b}\in Z, \sqrt{c}\in Z$
证明：因为$b,c$互质，故根据唯一分解定理，$b,c$的质因数中不存在交集。因为$a$是个完全平方数，组成它的所有质因数的次数都是偶数，而这些质因数都必须存在于$b,c$中，因此原命题成立。

这样，因为$y^2=d^2AB$，故根据推论1，$AB$为完全平方数。因为$\gcd(A,B)=1$，所以根据结论2，$A,B$为完全平方数。所以，为了保证枚举到的$A$都是完全平方数，令$a=\sqrt{A},b=\sqrt{B}$，看看是否能同时满足存在整数$b$使得$a^2+b^2=\frac{2r}{d}$且$a+b\gcd(A=a^2,B=b^2)=1$。这样$a$枚举的范围便是$\sqrt\frac{r}{d}$，进一步加快了速度。

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

#define ll long long

ll Gcd(ll a, ll b)
{
    return b ? Gcd(b, a%b) : a;
}

void Find(ll r, ll d, ll &ans)
{
    for (ll a = 1; a <= sqrt(r / d); a++)
    {
        ll b = sqrt(r * 2 / d - a * a);
        if (a * a + b * b == r * 2 / d && a != b && Gcd(a * a, b * b) == 1)         ans++;
    }
}

int main()
{
    ll r, ans = 0;
    scanf("%lld", &r);
    for (ll d = 1; d * d <= r * 2; d++)
    {
        if (r * 2 % d == 0)
        {
            Find(r, d, ans);
            if (d*d != r * 2)
                Find(r, r * 2 / d, ans);
        }
    }
    printf("%lld\n", ans * 4 + 4);
    return 0;
}