[NOI2014]购票 --- 斜率优化 + 树形DP + 数据结构

Posted 2020-11-01 ReMoon

题目描述

今年夏天，NOI在SZ市迎来了她30周岁的生日。

来自全国 n 个城市的OIer们都会从各地出发，到SZ市参加这次盛会。

全国的城市构成了一棵以SZ市为根的有根树，每个城市与它的父亲用道路连接。

为了方便起见，我们将全国的 n 个城市用 1 到 n 的整数编号。其中SZ市的编号为 1。

对于除SZ市之外的任意一个城市 v，我们给出了它在这棵树上的父亲城市 fv 以及到父亲城市道路的长度 sv。

从城市 v 前往SZ市的方法为：选择城市 v 的一个祖先 a，支付购票的费用，乘坐交通工具到达 a。

再选择城市 a 的一个祖先 b，支付费用并到达 b。以此类推，直至到达SZ市。

对于任意一个城市 v，我们会给出一个交通工具的距离限制 lv。

对于城市 v 的祖先 a，只有当它们之间所有道路的总长度不超过 lv 时，从城市 v 才可以通过一次购票到达城市 a，否则不能通过一次购票到达。

对于每个城市 v，我们还会给出两个非负整数 pv,qv 作为票价参数。

若城市 v 到城市 a 所有道路的总长度为 d，那么从城市 v 到城市 a 购买的票价为 d * pv+qv。

每个城市的OIer都希望自己到达SZ市时，用于购票的总资金最少。

你的任务就是，告诉每个城市的OIer他们所花的最少资金是多少。

 

输入输出格式

输入格式：

第 1 行包含2个非负整数 n,t，分别表示城市的个数和数据类型（其意义将在后面提到）。

输入文件的第 2 到 n 行，每行描述一个除SZ之外的城市。

其中第 v 行包含 5 个非负整数 f_v,s_v,p_v,q_v,l_v，分别表示城市 v 的父亲城市，它到父亲城市道路的长度，票价的两个参数和距离限制。

请注意：输入不包含编号为 1 的SZ市，第 2 行到第 n 行分别描述的是城市 2 到城市 n。

 

输出格式：

输出包含 n-1 行，每行包含一个整数。

其中第 v 行表示从城市 v+1 出发，到达SZ市最少的购票费用。

同样请注意：输出不包含编号为 1 的SZ市。

 

输入输出样例

输入样例#1：

7 3 
1 2 20 0 3 
1 5 10 100 5 
2 4 10 10 10 
2 9 1 100 10 
3 5 20 100 10 
4 4 20 0 10 

输出样例#1：

40 
150 
70 
149 
300 
150

说明

从每个城市出发到达 SZ的路线如下（其中箭头表示一次直达）：

城市 2：只能选择 2 → 1，花费为 2 × 20 + 0 = 40。

城市 3：只能选择 3 → 1，花费为 5 × 10 + 100 = 150。 城 市 4 ： 由 于 4 + 2 =6 ≤ l4 = 10，故可以选择 4 →1。

若选择 4 → 1，花费为 (4 +2) × 10 + 10 = 70 ； 若选 择 4 → 2 → 1，则花费为 (4 ×10 + 10) + (2 × 20 + 0) =90；因此选择 4 → 1。

城市 5：只能选择 5 →2 → 1 ， 花费为 (9 × 1 +100) + (2 × 20 + 0) = 149；无法选择 5 → 1，因为 l5 =10，而城市 5 到城市 1 总路程为 9 + 2 = 11 > 5，城市 5 不能直达城市 1。

城市 6：若选择 6 → 1，花费为 (5 + 5) × 20 + 100 = 300；若选择 6 → 3 →1，花费为 (5 × 20 + 100) + (5 × 10 + 100) = 350；因此选择 6 → 1。

城市 7：选择 7 → 4 → 1，花费为 (4 × 20 + 0) + ((4 + 2) × 10 + 10) = 150；

其他方案均比该方案差。

数据规模

 

这样子擓题面好像快一点。。。。

斜率优化树形DP，比较容易看出

怎么维护距离限制？

（更详细地后面再写）

1.树链剖分

2.可持久化（主席树+单调队列)

3.可持久化（主席树+平衡树）

4.点分治+CDQ分治

5.点分治+sort（my way）

6.点分治+可持久化平衡树