[CF623E]Transforming Sequence

Posted 2020-11-01 jefflyy

$\newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}$题意：对于一个序列$a_{1\cdots n}(a_i\in[1,2^k-1])$，定义序列$b_{1\cdots n}$满足$b_i=a_1|\cdots|a_i$，这里的“$|$”是按位或，问有多少种可能的$a_{1\cdots n}$使得$b_{1\cdots n}$严格单调递增

首先，$a$每增加一个数，这个数必须有一个二进制位是前面所有数都没有出现过的，所以当$n\gt k$时是没有解的，那个$n\leq10^{18}$是在吓人

然后考虑DP，设$f_{i,j}$为$a$有$i$个数且这些数的或占了$j$个二进制位（占位不考虑顺序），那么答案为$\align{\sum\limits_{i=n}^k\binom kif_{n,i}}$（统计答案的时候就要考虑顺序了）

考虑如何转移，我们有$\align{f_{x+y,i}=\sum\limits_{j=0}^i\binom ijf_{x,j}\left(2^j\right)^yf_{y,i-j}}$（前$x$个数占据哪$j$位，后$y$个数必须占$i-j$位，后$y$个数的其他$j$位可以随便取），整理一下得到$\align{\dfrac{f_{x+y,i}}{i!}=\sum\limits_{j=0}^i\dfrac{f_{x,j}2^{yj}}{j!}\dfrac{f_{y,i-j}}{(i-j)!}}$，这是卷积的形式，并且第一维下标也是相加的形式，所以可以直接快速幂+FFT求得答案

可是模数是$10^9+7$...毒瘤出题人

所以学习了一发拆系数FFT：在模$p$意义下，我们可以选取一个$M\geq\left\lceil\sqrt p\right\rceil$，并且把每个系数表达为$aM+b$的形式（这时$a,b\leq M$，因为数字变小了所以爆精度的风险小一些），把每个多项式拆成两个多项式，稍微推下式子就可以做到用$7$次FFT完成任意模数卷积，注意合并系数时适当模一下防止爆$\text{long long}$

然后就做完了，感觉此题略神==

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
typedef long long ll;
typedef double du;
const int mod=1000000007;
int mul(int a,int b){return a*(ll)b%mod;}
int pow(int a,int b){
	int s=1;
	while(b){
		if(b&1)s=mul(s,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return s;
}
struct complex{
	du x,y;
	complex(du a=0,du b=0){x=a;y=b;}
};
complex operator+(complex a,complex b){return complex(a.x+b.x,a.y+b.y);}
complex operator-(complex a,complex b){return complex(a.x-b.x,a.y-b.y);}
complex operator*(complex a,complex b){return complex(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
void swap(complex&a,complex&b){
	complex c=a;
	a=b;
	b=c;
}
int rev[65536],N;
complex w[16][65536];
void pre(int n){
	int i,j,k;
	for(N=1,k=0;N<n;N<<=1)k++;
	for(i=0;i<N;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
	k=0;
	for(i=2;i<=N;i<<=1){
		for(j=0;j<i;j++)w[k][j]=complex(cos(j*M_PI/(i/2)),sin(j*M_PI/(i/2)));
		k++;
	}
}
void fft(complex*a,int on){
	int i,j,k,f;
	complex t,wi;
	for(i=0;i<N;i++){
		if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	}
	f=0;
	for(i=2;i<=N;i<<=1){
		for(j=0;j<N;j+=i){
			for(k=0;k<i>>1;k++){
				wi=w[f][k];
				wi.y*=on;
				t=wi*a[i/2+j+k];
				a[i/2+j+k]=a[j+k]-t;
				a[j+k]=a[j+k]+t;
			}
		}
		f++;
	}
	if(on==-1){
		for(i=0;i<N;i++)a[i].x/=N;
	}
}
complex A[65536],B[65536],C[65536],D[65536];
void mul(int*a,int*b,int n){
	int i;
	complex t;
	for(i=0;i<N;i++){
		A[i]=a[i]>>15;
		B[i]=a[i]&32767;
		C[i]=b[i]>>15;
		D[i]=b[i]&32767;
	}
	fft(A,1);
	fft(B,1);
	fft(C,1);
	fft(D,1);
	for(i=0;i<N;i++){
		t=A[i]*D[i]+B[i]*C[i];
		A[i]=A[i]*C[i];
		C[i]=B[i]*D[i];
		B[i]=t;
	}
	fft(A,-1);
	fft(B,-1);
	fft(C,-1);
	memset(a,0,(n+1)<<2);
	for(i=0;i<=n;i++)a[i]=((llround(A[i].x)%mod<<30)+(llround(B[i].x)%mod<<15)+llround(C[i].x)%mod)%mod;
}
int ta[65536];
void trans(int*a,int*b,int n,int p){
	int i,t;
	memset(ta,0,sizeof(ta));
	t=1;
	for(i=0;i<=n;i++){
		ta[i]=mul(a[i],t);
		t=mul(t,p);
	}
	mul(ta,b,n);
	memcpy(a,ta,sizeof(ta));
}
int fac[30010],rfac[30010];
int binom(int n,int k){return mul(fac[n],mul(rfac[k],rfac[n-k]));}
int f[65536],g[65536];
int main(){
	ll n;
	int k,i,b,ans;
	scanf("%I64d%d",&n,&k);
	if(n>k){
		putchar(‘0‘);
		return 0;
	}
	fac[0]=1;
	for(i=1;i<=k;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	rfac[k]=pow(fac[k],mod-2);
	for(i=k;i>0;i--)rfac[i-1]=mul(rfac[i],i);
	for(i=1;i<=k;i++)f[i]=rfac[i];
	g[0]=1;
	pre(k<<1|1);
	b=2;
	while(n){
		if(n&1)trans(g,f,k,b);
		trans(f,f,k,b);
		b=mul(b,b);
		n>>=1;
	}
	ans=0;
	for(i=n;i<=k;i++)ans=(ans+mul(mul(g[i],fac[i]),binom(k,i)))%mod;
	printf("%d",(ans+mod)%mod);
}